же движения, сколько в другом (по т. 22, ч. II и по кор. к т. 27, ч. II).
Тело В в этом случае должно потерять половину своего направления, а также (по т. 20, ч. II) половину своего движения. Если же В
отталкивается телом А в противоположную сторону, то оно потеряет
все свое направление, но удержит все свое движение (по т. 18, ч. II): но эта перемена равна предыдущей (но кор. к т. 26, ч. II). Но ни то, ни другое не может произойти, ибо если бы А удерживало свое
состояние и могло изменить направление В, то А должно быть (по
акс. 20) сильнее В, что было бы противно пред-
2
52
положению. Если же В увлекло бы с собой А, пока оба не стали бы
двигаться с равной скоростью, то В было бы сильнее А, что также
противоречит допущению. Но так как ни одно из двух не может
иметь места, то остается лишь третье, именно, что В подвигает тело
А немного далее и само немного отталкивается им, что и требовалось
доказать (см. § 51, ч. II «Начал»).
Теорема 31. Седьмое правило.
Е
сли В и А движутся по одному направлению, А медленнее, а В, следуя
за ним, быстрее, так что, наконец, тело В нагоняет А, и если при
этом А больше В, но избыток скорости В больше избытка величины
А, то В перенесет на А столько своего движения, что после этого
оба тела будут двигаться с равной скоростью и в том же
направлении. Но если бы излишек величины А был больше излишка
скорости В, то В было бы отражено телом А в противоположном
направлении, но удержало бы при этом все свое движение.
П
рочти § 52, ч. II «Начал». Здесь, как и раньше, можно себе
представить лишь три случая.
Д
оказательство первой части. Тело В не может отталкиваться телом
А в противоположном направлении, так как В предполагается
сильнее А (по т. 21 и 22, ч. II и акс. 20), следовательно В, будучи
сильнее, увлечет с собой А, притом так, что оба тела будут двигаться
с равной скоростью. Ибо тогда наступит возможно меньшая
перемена, как это очевидно из вышесказанного.
Д
оказательство второй части. Тело В в этом случае не может увлечь
А, так как оно (по т. 21 и 22, ч. II) предполагается слабое (по акс. 20); оно не может также сообщить ему части своего движения. Поэтому
В (по кор. к т. 14, ч. II) сохранит все свое движение, но не в том же
направлении, так как предполагается, что оно в этом встречает
препятствие со стороны А. Таким образом, В отразится (по
сказанному в гл. 2 «Диоптрики») в противоположном направлении, но удержит при этом все свое движение (по т. 18, ч. II), что и
требовалось доказать.
Н
адо заметить, что и здесь, и в предыдущих теоремах мы считали
доказанным, что всякое тело, встречающее по прямой линии другое, которое безусловно препятствует
2
53
ему продолжать движение в том же направлении, должно
двигаться в противоположном и ни в каком ином направлении.
Чтобы убедиться в этом, прочти гл. 2 « Диоптрики».
С
холия. До сих пор для объяснения перемен, испытываемых телами
при столкновении, я рассматривал лишь два тела, как будто они
полностью отделены от всех других тел, и я не обращал внимания на
окружающие их тела. Теперь я намерен исследовать их состояние и
их перемены, принимая в расчет окружающие их тела.
Теорема 32
Е
сли тело В окружено малыми движущимися телами, толкающими
его по всем направлениям с равной силой, то оно будет оставаться
неподвижно на одном и том же месте, пока не присоединится еще
другая причина.
Д
оказательство. Эта теорема очевидна само собой, ибо если бы тело
от толчка телец, движущихся с одной стороны, двигалось в одном
направлении, то движущие его тельца должны бы были толкать его с
большей силой, чем толкающие его одновременно тельца с другой
стороны, которые не могут устранить своего действия (по акс. 20), что шло бы против допущения.
Теорема 33
П
ри вышеизложенных условиях от приложения малейшей силы тело В
может двигаться по всякому направлению.
Д
оказательство. Все тела, непосредственно прилегающие к В, будучи
подвижны (по допущению), а В неподвижно (по т. 32), тотчас при
соприкосновении с В отразятся в другую сторону, не теряя своего
движения (по т. 28, ч. II). Поэтому В будет постоянно само
оставляемо непосредственно прикасающимися телами, и, как бы
велико ни было В, не нужно никакой силы для отделения его от
непосредственно соприкасающихся тел (согласно четвертому из
наших замечаний к опр. 8). Поэтому даже малейшая внешняя сила, могущая сообщиться телу В, всегда больше той, которая стремится
удержать его на своем месте (ибо мы уже доказали, что ему не при-
2
54
суща никакая сила, которая могла бы удержать его у
непосредственно касающихся тел). Вместе с тем сила телец, толкающих В в том же направлении, больше силы других телец, толкающих В в противоположном направлении (так как сила и тех и
этих предполагается одинаковой, если не прилагается никакая
внешняя сила). Таким образом, тело В (по акс. 20) будет приводиться
в движение этой внешней силой, как бы она ни была мала, притом в
любую сторону, что и требовалось доказать.
Теорема 34
Т
ело В при этих условиях не может двигаться быстрее, чем оно
побуждается внешней силой, хотя бы окружающие его частицы
двигались гораздо быстрее.
Д
оказательство. Тельца, которые одновременно с внешней силой
толкают тело В в том же направлении, хотя бы они двигались
гораздо быстрее, чем может двигать В внешняя сила, все-таки (по
предположению) не будут иметь большей силы, чем тельца, толкающие В в противоположную сторону, и потому их общая сила
будет истрачена на сопротивление последним тельцам, причем они
не перенесут на В (по т. 32, ч. II) какой-либо скорости. Но так как
никакие иные условия или причины не предполагаются, то В получит
свою скорость лишь от этой внешней причины, и потому оно (по
акс. 8, ч. 1) не может двигаться скорее, чем будучи приведено в
движение внешней силой, что и требовалось доказать.
Теорема 35
Е
сли тело В приводится в движение внешним толчком, то оно
получает большую часть своего движения от постоянно
окружающих его тел, а не от внешней силы.
Д
оказательство. Каким бы большим ни предполагалось В, оно все-
таки приводится в движение малейшим толчком (по т. 33, ч. II).
Т
еперь предположим, что В вчетверо больше внешнего тела, сила
которого дает ему толчок; тогда оба (по предыдущей теореме) будут
двигаться с равной скоростью, и в В будет вчетверо больше
