Так в течение XIX века развивалась проективная геометрия. Она дает учителю отличный материал. Удивительно, почему общеобразовательные школы не включают ее в программу более широко. Проективная геометрия дает учащимся чрезвычайно хорошие возможности рассматривать различные проблемы и связи как образно, так и буквально под различными углами зрения. Наряду с обычной атомистической трактовкой, согласно которой плоскость или линия состоят из точек, проективная геометрия дает и обратный образ, рассматривая точку как несущую в себе плоскости или прямые. Плоскость и прямая, таким образом, равно как и точка, могут рассматриваться как первичные однородные элементы. Кто испытал на себе, что молодые люди любую ситуацию зачастую видят только в черно-белых тонах (причем глубоко в этом убеждены), должны видеть важную задачу школы в том, чтобы научить учеников вырабатывать образные суждения. Не в последнюю очередь благодаря рассмотрению проблем и вещей под самыми разными углами, а лучше всего с нескольких диаметрально противоположных точек зрения. Для этой цели великолепно подходит проективная геометрия, она дает интересное поле деятельности для всех учеников. Основы проективной геометрии заложил в XVII веке французский математик Дезарг. При этом он пытался решить проблемы, которые поставили перед ним художники, т.е. «профаны», искавшие методы строгого построения перспективы рисунка. «Наука, созданная Дезаргом, до сих пор является одной из красивейших областей математики, может быть, потому, что в свое время она вышла из лона искусства»,- пишет Моррис Клейн в своей работе «Математика в западной культуре».
Если мы хотим услышать и понять друг друга в нашей повседневной жизни, если мы стремимся к пониманию определенных результатов научного исследования, то мы должны уяснить себе и другим, какие основные представления лежат в основе нашей системы взглядов. В науке на переднем плане всегда стоит вопрос: какая аксиома или феномен положены в основу? Мы всегда стремимся к тому, чтобы как можно более объективно увидеть, что происходит в поле наших исследований, — будь то природный процесс, эксперимент, психологическое или историческое событие. В двенадцатом классе вальдорфской школы ученики получают обширные обзоры по разным предметам. В математике, например, мы видим, как при умелом выборе разных наборов аксиом возникают разные геометрии (эвклидова, неэвклидова, аналитическая, синтетическая и т. д.) или алгебры ("необычная" алгебра, булева алгебра, векторная алгебра и т. д.). Т.е. каждый исследователь выбирает адекватный инструмент. Можно сказать: дело выбирает проблему. Ученики знакомятся в этой связи с примерами того, как некая математическая работа долгое время рассматривалась всего лишь в качестве «литературы», и даже относилась к разряду курьезов, и вдруг доказывала свою незаменимость во многих областях (алгебра Буля для логического анализа, теории вероятностей и теории электрических сетей).
Перерастание пятиугольника в плоскость (12 класс).
Обобщая, можно сказать, что уроки математики состоят из упражняющих и ориентирующих моментов. Чем теснее и интимнее они будут связаны, тем активнее ученики будут участвовать в уроке. Долгие упражнения в чистом виде превращаются в мертвящие штудии, а ориентирование в чистом виде подавляет стремление к деятельности. Если речь идет о доказательствах и следствиях, то золотое правило гласит: переживаемое дает живую середину между убедительной, но педантично-сухой формой изложения и схематично-обзорным, но бес-контурным, ходом мыслей.
Параллельно с обучением и упражнением в чисто математической сфере, осуществляются экскурсы в область, позволяющую понять, как математические законы связаны с природой и прежде всего с человеком. Но наибольшую ценность математика как предмет представляет в том смысле, что она в большей мере, чем другие предметы, приводит обучаемого к чистому мышлению и к доверию этому мышлению, т. е. к такому мышлению, которое вырабатывается у нас благодаря деятельности, являющейся одновременно и субъективной и объективной.
Физика
Девятый класс
На уроках физики в шестом, седьмом и восьмом классе ученики изучали элементарные явления в области акустики, оптики, механики (включая гидростатику и аэромеханику) и познакомились с некоторыми их практическими применениями. В девятом классе речь идет уже о том, чтобы научиться понимать (как с помощью качественных обобщений, так и математических вычислений) определенные явления в области учения о теплоте и об электричестве настолько, чтобы можно было основательно разобраться в паровой машине, в двигателе внутреннего сгорания, в телефоне и в других основных изобретениях.
На примерах учения о теплоте наглядно покажем, как можно изучать физику в девятом классе. Закон Бойля о давлении и объеме газа должен в основном служить показу того, как можно выработать математический подход к материальным процессам. Вещество отнюдь не произвольно реагирует на воздействие тепла. Расширение, поглощение тепла, теплота плавления и испарения, точки кипения и замерзания, —это все удельные величины, относящиеся к разным веществам. При этом, например, температура плавления некоторых сплавов может оказаться ниже температуры плавления каждого из составляющих сплав металлов, что поначалу не укладывается в голове.
Умение удивляться таким природным процессам в этом возрасте особенно важно и плодотворно. Странно, что вода, это самое распространенное на земле вещество, является исключением в случае расширения при нагревании. Тот факт, что она имеет наибольшую плотность при 4 градусах, позволяет зимой в сильных холод предохранить жизнь в водоёмах от замерзания. Особо следует отметить свойство жидкостей кипеть при все более низких температурах с уменьшением давления. Кривую насыщенных паров различных веществ можно легко изобразить на диаграмме. С большим интересом мы открываем для себя, что все эти кривые исходят как бы из одной так называемой абсолютной нулевой точки, а кончаются также неожиданно в одной точке, — точке критического состояния вещества: здесь уже нельзя отличить газ от жидкости, теплота испарения равна нулю. Природа сама назначает для каждой жидкости точку, ниже которой она не превращается в газ, и точку, выше которой газ не может превратиться в жидкость.
Если мы работаем с закономерностями такого рода и стараемся, чтобы ученики их поняли, то мы очень скоро заметим, что вычисления играют второстепенную роль. Если в технике и в промышленности не считают нужным заниматься качественной стороной явлений учения о теплоте и ищут сотрудников, хорошо владеющих чисто математической стороной физики, то хотя бы здесь при постановке педагогической задачи нужно осознать, насколько важна эта качественная сторона.
Очень интересным и сложным предстает перед нами явление скрытой теплоты. Вещества поглощают значительное количество тепла, которое, однако, не проявляется в нагревании или охлаждении. Вместо этого изменяется агрегатное состояние вещества. Когда идет снег, то «не холодно», потому что освобождается скрытая теплота, теплота испарения, и согревает окружающую среду. Или когда мы промокаем, то начинаем мерзнуть, потому что теплота испарения в любом случае поглощается, в данном случае она берется из тела.
Расширение происходит всегда при нагревании. То есть тело поглощает тепло и реагирует на это увеличением объема. А если объем увеличивается без подвода тепла — что же тогда происходит? Тогда становится холоднее. Совсем не так легко объяснить это ученикам. Но происходит совершенно аналогичное явление: каждое увеличение объема требует тепла. Если же увеличить объем, скажем, за счет утечки газа из баллона со сжатым газом (автоклава), но при этом одновременно не подогреть его, то он теряет внутреннюю энергию и охлаждается. В теплой классной комнате можно запросто получить снег из углекислого газа.
