Данная задача важна и сама по себе, однако еще большую важность она приобретает в связи со знаменитой топологической задачей, сформулированной в 1930 году и известной как гипотеза Смита. Эта гипотеза основана на размышлениях американского тополога Пола Смита о возможности вращения обычного трехмерного пространства вокруг бесконечно длинной вертикальной оси. Смиту было известно, что в том случае, когда ось является прямой линией, осуществить вращение вокруг нее трехмерного пространства довольно просто. Его гипотеза состояла в том, что подобное вращение становится невозможным при наличии на оси хотя бы одного узла.
Вас, конечно, может удивить, что кого-то заинтересовал подобный вопрос, но это именно тот тип задач, которыми и занимаются топологи и геометры. Как заметил Кэмерон Гордон из Техасского университета по этому поводу: «Наша интуиция подсказывает нам, что это утверждение самоочевидно, поскольку возможно ли представить вращение пространства вокруг завязанной в узел линии?» Наше с Миксом доказательство леммы Дена и теоремы о петле стали двумя последними фрагментами, необходимыми для того, чтобы подтвердить гипотезу Смита. Окончательное подтверждение его гипотезы было получено путем объединения наших результатов с результатами Уильяма Тёрстона и Хаймана Басса. Упоминавшийся ранее Кэмерон Гордон свел воедино разрозненные фрагменты и получил безупречное доказательство, подтвердившее предположение Смита о невозможности вращения трехмерного пространства вокруг завязанной в узел оси. При этом, правда, оказалось, что — как бы смешно это ни прозвучало — это утверждение неверно для пространств более высокой размерности, и для них подобные вращения все-таки возможны.[29]
Это доказательство представляет собой прекрасный пример совместной работы геометров и топологов над проблемой, которая потребовала бы от них много больше времени в том случае, если бы они пытались решить ее поодиночке. Кроме того, работая над упомянутой задачей, я впервые осознал, что рассуждения о минимальных поверхностях применимы к вопросам топологии. Наконец, доказательство гипотезы Смита подтвердило идею о возможности использования геометрии для решения проблем в области топологии и физики. Впрочем, пока мы говорили только о топологии и практически не затрагивали физику, оставив открытым вопрос о возможном использовании в ней геометрического анализа.
На международной конференции по геометрии, проходившей в Стэнфорде в 1973 году, мое внимание впервые привлекла одна задача из области общей теории относительности, которой всего через несколько лет после этого суждено было стать подтверждением действенности методов геометрического анализа в физике. Я узнал об этой задаче от физика Чикагского университета Роберта Героха, затронувшего в своем докладе неподтвержденную на то время гипотезу о положительности массы или энергии. Согласно этой гипотезе, в изолированной физической системе общая масса и общая энергия должны быть положительны. В данном случае понятия массы и энергии эквивалентны, как было показано Эйнштейном в его знаменитом уравнении E = mc2. Поскольку Вселенную можно рассматривать как изолированную систему, гипотеза должна быть применима также и к Вселенной в целом. Вопрос о правомерности этого утверждения был столь важен, что на протяжении многих лет на всех основных конференциях по общей теории относительности ему отводили отдельную сессию. Причиной этого являлось непосредственное отношение гипотезы о положительности массы к вопросу о стабильности пространственно-временного континуума и, следовательно, непротиворечивости теории Эйнштейна самой по себе. Говоря простыми словами, пространственно-временной континуум может быть стабилен только в том случае, если его общая масса положительна.
На Стэнфордской конференции Герох бросил вызов геометрам, призвав их заняться задачей, которую физики на тот момент собственными усилиями решить не могли. Его надежда на помощь основывалась не только на фундаментальной связи между геометрией и гравитацией, но также и на том факте, что утверждения о положительности плотности материи и о положительности средней кривизны в каждой точке пространства по сути эквивалентны.
Герох был крайне заинтересован в окончательном разрешении этого вопроса. «Трудно было поверить, что эта гипотеза может быть ошибочной, но не менее трудно было доказать ее истинность», — заметил он впоследствии. Нельзя полагаться на интуицию, когда речь идет о подобных вещах, поскольку, добавил он, «она далеко не всегда ведет нас в правильном направлении».[30]
Призыв Героха прочно засел у меня в голове, и через несколько лет после этого, занимаясь совершенно иным вопросом, мы с моим бывшим аспирантом Ричардом Шоном (теперь стэнфордским профессором) обратили внимание на то, что некоторые из разработанных нами в последнее время методов геометрического анализа могут быть использованы для доказательства гипотезы о положительности массы. Тогда, применив стратегию, обычную для решения крупных задач, мы попытались разбить задачу на небольшие фрагменты, с которыми можно было бы работать поодиночке. Перед тем как приступить к доказательству гипотезы в целом (которую для геометра тяжело даже осознать, не то что пытаться доказывать), мы сосредоточили наше внимание на нескольких частных случаях. Кроме того, мы не были до конца уверены, что эта гипотеза верна с чисто геометрической точки зрения, поскольку ее утверждения казались нам чересчур строгими.
В своих попытках мы были не одиноки. Так, Михаил Громов, известный геометр, работающий в Нью-Йоркском университете и в Институте высших научных исследований (Франция), поделился с нами своим мнением о том, что, согласно его геометрической интуиции, общий случай этой гипотезы ошибочен, с чем были согласны и многие из его коллег. С другой стороны, большинство физиков были твердо уверены в истинности гипотезы, что они постоянно демонстрировали, год за годом поднимая вопрос о ней на всевозможных научных конференциях. Все это побудило нас более пристально взглянуть на эту идею, чтобы понять, что мы сможем сделать в этой области.
Подход, который мы задействовали, был тесно связан с понятием о минимальных поверхностях. К доказательству гипотезы о положительности массы этот метод был применен впервые, поскольку никакой очевидной связи между этой задачей и минимальными поверхностями не существовало. Впрочем, Шон и я чувствовали, что мы выбрали правильный путь. В геометрии, как и в инженерии, для того чтобы решить задачу, необходимо прежде всего правильно подобрать инструменты для ее решения, хотя, после того как доказательство уже завершено, мы порой обнаруживаем и другие пути для его нахождения. Если бы локальная плотность материи оказалась положительной, как постулировалось в общей теории относительности, то геометрии пришлось бы считаться с этим фактом. Шон и я предположили, что именно минимальные поверхности являются наиболее подходящим инструментом для определения влияния локальной плотности материи на глобальную кривизну и топологию.
Доказательство, найденное нами, сложно объяснить «на пальцах», Поскольку уравнения поля Эйнштейна, на которых основывается переход от физики к геометрическим построениям, имеют сложную нелинейную форму, которая трудна для интуитивного восприятия. По сути, свое доказательство мы начали от противного, предположив существование такого пространства, для которого масса не является положительной. Затем мы показали, что в пространстве, средняя кривизна которого неотрицательна, можно представить себе поверхность с минимальной площадью. Иными словами, можно представить себе такую поверхность, средняя кривизна которой равна нулю. Это было бы невозможно, если бы в роли пространства, в котором находится данная поверхность, выступала наша Вселенная, в которой плотность наблюдаемой материи положительна. Если считать общую теорию относительности истинной, то из положительности плотности материи будет следовать положительность кривизны.
Хотя может показаться, что это рассуждение представляет собой подобие замкнутого круга, на самом деле это не так. В определенном пространстве, таком как наша Вселенная, плотность вещества может быть положительной даже при условии неположительности общей массы. Это обусловлено тем, что свой вклад в общую массу дает как вещество, так и гравитация. Даже если вклад вещества в общую массу будет положителен, как мы предположили в нашем доказательстве, общая масса может иметь отрицательное значение благодаря отрицательному вкладу со стороны гравитации.
