Клифф Таубс, мой коллега-математик из Гарварда, подытожил различия между этими дисциплинами. Таубс полагает, что, хотя инструментарий математики и физики может быть одним и тем же, они преследуют разные цели. «Физика — это изучение мира, а математика — изучение всех возможных миров».[279]
Это одна из причин, по которой я люблю математику. Физики высказывают догадки о других мирах и других Вселенных, как и мы. Но в конце дня они должны вернуться в наш мир и думать о том, что реально. Я вынужден думать, возможно, не только о «всех возможных мирах», как выразился Клифф, но более широко — обо всех возможных пространствах. На мой взгляд, это наша работа. Хотя физики, по большому счету, как правило, смотрят только на одно пространство и видят то, что оно может рассказать нам о природе, а мы, математики, должны смотреть на совокупность всех пространств, чтобы найти общие правила и принципы, применимые к самым интересным случаям.
Рис. 13.4. Эта карикатура физика Роберта Дикграафа показывает взаимосвязь между математиками и физиками (изображение любезно предоставлено Робертом X. Дикграафом)
Тем не менее пространства не созданы равными, и некоторые привлекают мое внимание больше, чем другие, особенно те пространства, в которых, как полагают, находятся дополнительные размерности природы. Перед нами стоит задача выяснить форму этого скрытого мира, который, согласно теории, содержит оба вида материи, наблюдаемые нами из космоса, и все виды физических явлений, которые мы также наблюдаем. Некоторое время я всецело был поглощен этой задачей, и похоже, что в ближайшее время мне от нее не отделаться.
Хотя я занят различными проектами, я время от времени возвращаюсь к этой задаче. И несмотря на мой интерес к другим областям математики и физики, я постоянно возвращаюсь к геометрии. Если спокойствие достигается через понимание, то геометрия является моей попыткой достичь некоего подобия внутреннего спокойствия. Или в более широком смысле, геометрия — это мой способ попытаться разобраться в нашей Вселенной и понять таинственные скрытые пространства, названные, в том числе, в мою честь.
Четырнадцатая глава
Конец геометрии?
Хотя геометрия сослужила нам хорошую службу, остались скрытые проблемы, которые предвещают нам неприятности в будущем. Чтобы убедиться в этом, необязательно отправляться в далекое путешествие, а достаточно дойти до ближайшего озера или пруда. А если в вашей местности нет озер, подойдут бассейн или ванна. Поверхность озера может выглядеть идеально гладкой в спокойный, безветренный день, но это иллюзия. Если посмотреть на поверхность с помощью прибора с высоким разрешением, то окажется, что она зубчатая, а не гладкая. Мы увидим, что поверхность фактически состоит из отдельных молекул воды, которые постоянно покачиваются, перемещаются внутри пруда и свободно проходят между поверхностью пруда и воздухом. С этой точки зрения поверхность не является статичной и хорошо определяемой. На самом деле вряд ли можно квалифицировать водную гладь как поверхность в том смысле, в каком мы обычно используем этот термин.
Аналогичная ситуация наблюдается с классической геометрией, поскольку, по мнению гарвардского физика Кумрун Вафы, она дает только приближенное, а не точное или фундаментальное описание природы. Хотя справедливости ради стоит сказать, что это приближенное описание служит хорошим фундаментом и почти безупречно описывает нашу Вселенную, за исключением планковского масштаба (10-33см) — области, в которой на стандартную геометрию накладываются квантовые эффекты и выполнение простых измерений становится невозможным.
Главная трудность в решении задач на очень мелких масштабах связана с принципом неопределенности Гейзенберга, который делает невозможной локализацию отдельной точки или точную фиксацию расстояния между двумя точками. Поэтому объекты планковского размера не стоят на месте, а постоянно колеблются, изменяя свои параметры, включая местоположение, размер и кривизну. Если классическая геометрия говорит нам, что две плоскости пересекаются по линии, а три плоскости пересекаются в точке, то с квантовой точки зрения мы должны представить себе три плоскости, пересекающиеся в окрестности некоей сферы, которая охватывает область возможных положений для этой точки.
Для исследования Вселенной на уровне скрытых измерений или отдельных струн нам необходим новый вид геометрии, иногда называемой квантовой геометрией, способной работать как на самых больших, так и на самых маленьких масштабах, которые только можно вообразить. Геометрия такого рода должна быть совместима с общей теорией относительности на больших масштабах и квантовой механикой на малых масштабах и совпадать там, где обе теории пересекаются. По большей части квантовая геометрия пока не существует. Она гипотетична, хотя и важна, скорее надежда, чем реальность, название для поиска четко определенной математической теории. «Мы не знаем, как такая теория будет выглядеть или как она должна называться, — говорит Вафа. — Для меня не очевидно, что она должна называться геометрией».[280] Но независимо от названия, мы считаем, что геометрия, в том виде как она существует сейчас, исчерпала себя и ее необходимо заменить на что-то более мощное — на геометрию, которой мы еще не знаем. Это путь всех наук, как и должно быть, поскольку застой означает смерть.
«Мы всегда ищем области, в которых наука оказывается бессильной, — объясняет физик Амстердамского университета Роберт Дикграаф. — Геометрия тесно связана с теорией Эйнштейна, и когда теория Эйнштейна испытывает потрясения, то геометрию ждет та же судьба. В конечном счете, уравнения Эйнштейна необходимо заменить так же, как они в свое время заменили уравнения Ньютона, и геометрия пойдет тем же путем».[281]
Но не будем перекладывать всю ответственность на геометрию, потому что проблема в большей степени связана с физикой, чем с математикой. Прежде всего, планковский масштаб, где начинаются все вышеупомянутые неприятности, вообще не является математической концепцией.
Это физическая шкала длины, массы и времени. Даже тот факт, что классическая геометрия не работает на планковском масштабе, не означает, что что-то не так с математикой как таковой. Методы дифференциального исчисления, лежащие в основе римановой геометрии, которая, в свою очередь, служит основой для общей теории относительности, не вдруг перестают работать при критическом масштабе длины. Дифференциальная геометрия предназначена по самой своей сути для работы на бесконечно малых длинах, которые можно устремлять к нулю так близко, как вы пожелаете. «У нас нет причин полагать, что экстраполяция общей теории относительности до мельчайших пространственных масштабов будет проблемой с точки зрения математики, — говорит Дэвид Моррисон, математик Калифорнийского университета в Санта-Барбаре. — Здесь нет реальной проблемы и с точки зрения физики, за исключением того, что мы знаем, что это неверно».[282]
В общей теории относительности метрика, или функция, длины говорит нам о кривизне в каждой точке. На очень малых масштабах длины метрические коэффициенты колеблются в широких пределах, а это означает, что длина и кривизна также будут сильно колебаться. Другими словами, геометрия будет испытывать такие сильные сдвиги, что вряд ли будет иметь смысл называть ее геометрией. Это похоже на железнодорожную систему, где рельсы могут уменьшаться, удлиняться и искривляться как угодно, — такая железная дорога никогда не доставила бы вас к месту назначения или вы прибыли бы туда не по расписанию. Как говорится, это не для железной дороги и не для геометрии.
Как и многие другие проблемы, которых мы коснулись в этой книге, эти геометрические странности вытекают из фундаментальной несовместимости квантовой механики и общей теории относительности. Квантовую геометрию можно рассматривать как язык квантовой гравитации (математический формализм, необходимый для решения проблемы совместимости), какой бы эта теория не оказалась. Существует еще один способ рассмотрения данной проблемы физиками: геометрия сама по себе может быть явлением скорее «производным», чем фундаментальным. Если эта точка зрения верна, то она может объяснить, почему традиционные геометрические описания мира дают сбои в областях, которые отличаются малыми размерами и очень высокими энергиями.
