Для нахождения упомянутых выше минимальных путей необходимо использовать дифференциальные уравнения. Чтобы найти минимальные значения, необходимо обратить внимание на точки, в которых производная равна нулю. Поверхность с наименьшей площадью должна удовлетворять определенному дифференциальному уравнению, а именно такому уравнению, которое выражает факт равенства нулю средней кривизны во всех возможных точках поверхности. Как только вы нашли требуемое дифференциальное уравнение в частных производных — вы сразу же получаете огромное количество информации о вашей задаче, поскольку за годы работы мы узнали многое об этих уравнениях.

Рис. 3.6. Хотя оригинальная формулировка проблемы Плато относится к поверхностям, натянутым на простые замкнутые кривые, можно сформулировать более сложные варианты того же вопроса — и иногда даже найти на них ответы. Например, можно ли найти минимальную поверхность в том случае, если граница состоит не из одной, а из нескольких замкнутых кривых (например, окружностей)? На рисунке приведены некоторые примеры минимальных поверхностей, являющихся решениями проблемы Плато, представленной в данной форме. (Исходное изображение — 3D-XplorMath Consortium)

«Впрочем, это совсем не означает, что мы занимаемся разграблением хорошо разработанной области и просто подбираем все, что плохо лежит. Наше сотрудничество — это скорее улица с двухсторонним движением, поскольку большой объем информации о поведении дифференциальных уравнений в частных производных был получен именно благодаря геометрии», — говорит Роберт Грин.[28] Чтобы увидеть то, что может получиться из соединения геометрического анализа с теорией минимальных поверхностей, давайте продолжим наш разговор о мыльных пленках.

В XIX столетии бельгийский физик Жозеф Плато провел в этой области серию классических экспериментов, состоявших в погружении изогнутых различными способами кусков проволоки в сосуды с мыльной водой. Плато сделал вывод, что мыльные пленки, которые образовывались в ходе эксперимента, всегда имели минимальную поверхность. Более того, он предположил, что для любой замкнутой кривой всегда можно найти минимальную поверхность, контуром которой служила бы данная кривая. В большинстве случаях будет существовать только одна минимальная поверхность — и тогда задача будет иметь единственное решение. Но в некоторых случаях существует больше чем одна поверхность с минимальной площадью, и мы не знаем, сколько их будет всего.

Гипотеза Плато оставалась недоказанной вплоть до 1930 года, когда Джесси Дуглас и Тибор Радо независимо друг от друга нашли решение этой проблемы. За свою работу в этой области Дуглас получил в 1936 году медаль Филдса, став первым обладателем этой награды.

Рис. 3.7. Математик Уильям Микс (фотография Хоакина Переза)

Не всякая минимальная поверхность столь же проста, как мыльная пленка. Некоторые минимальные поверхности, над которыми ломают головы математики, намного сложнее и характеризуются многочисленными изгибами и складками, называемыми особенностями, или сингулярностями, — впрочем, многие из них встречаются в природе. Через несколько десятилетий после того, как Дуглас и Радо опубликовали свои работы, их разработки были продолжены стэнфордским математиком Робертом Оссерманом, автором блестящей книги по геометрии под названием «Поэзия Вселенной», который показал, что минимальные поверхности, фигурирующие в экспериментах, подобных экспериментам Плато, могут иметь только один тип особенностей, выглядящих как диски или плоскости, пересекающиеся по прямым линиям. Следующий шаг был совершен мной и Уильямом Миксом, профессором Массачусетского университета, с которым мы вместе учились в Беркли.

Рис. 3.8. Лемма Дена, геометрическая версия которой была доказана Уильямом Миксом и автором данной книги (Яу), обеспечивает математический метод для преобразования пересекающихся поверхностей в поверхности без пересечений, складок и других особенностей. Лемму обычно формулируют в терминах топологии, но геометрический подход Микса и Яу дает более точное решение

Мы рассмотрели ситуацию, в которой в роли минимальных поверхностей выступали так называемые вложенные диски, представляющие собой поверхности, которые на всем своем протяжении ни разу не изгибаются настолько, чтобы пересечь сами себя. Локально подобное пересечение выглядело бы как пересечение двух или нескольких плоскостей. В частности, нас заинтересовали выпуклые тела, то есть такие объекты, для которых отрезок прямой (или геодезическая линия), соединяющий любые две точки, всегда будет лежать на поверхности или внутри данного объекта. Таким образом, куб и сфера являются выпуклыми объектами, а седло — нет. Любые полые тела, обладающие выступами или имеющие форму полумесяца, не считаются выпуклыми, поскольку отрезки, соединяющие некоторые точки, обязательно будут выходить за пределы тела. Нами было доказано, что для любой замкнутой кривой, которую можно нарисовать на поверхности выпуклого тела, минимальная поверхность, опирающаяся на данную кривую, всегда будет вложенной, то есть не будет иметь тех складок или пересечений, которые упоминал Оссерман. Иными словами, в выпуклых пространствах все идет гладко и красиво.

Таким образом мы разрешили важнейший вопрос геометрии, являвшийся предметом дискуссий на протяжении десятилетий. Впрочем, на этом история не закончилась. Для доказательства данной версии теоремы Плато мы с Миксом использовали некую лемму, называемую леммой Дена.

(Леммой в геометрии называется вспомогательное утверждение, доказанное исключительно с целью доказательства в дальнейшем более общего положения.) Долгое время считалось, что эта лемма была доказана в 1910 году немецким математиком Максом Деном, однако по прошествии десяти лет в его доказательстве была обнаружена ошибка. Ден утверждал, что для случая трехмерного пространства диск, имеющий особенность, то есть самопересечение под углом или крест-накрест, можно заменить на другой диск, не имеющий каких-либо особенностей и опирающийся на тот же контур. В случае своей истинности это утверждение было бы весьма полезно, поскольку оно изрядно упростило бы работу геометров и топологов, предоставив им возможность заменять самопересекающиеся поверхности поверхностями, не имеющими подобных пересечений.

Окончательное доказательство леммы Дена было найдено в 1956 году греческим математиком Христосом Папакирьякопулосом. Это событие было запечатлено в шуточном стишке Джона Мильнора:

Вероломнейшая лемма Дена

Пред топологом ставила стену.

Но явился Христос

Папакирьякопулос,

Доказав эту лемму мгновенно.

Мы с Миксом применили основанный на топологии подход Папакирьякопулоса к геометрической проблеме, затронутой в работах Плато. Затем мы пошли в обратном направлении и при помощи геометрии доказали более строгие варианты (по сравнению с теми, которые можно было получить исходя исключительно из топологии) как леммы Дена, так и относящейся к ней теоремы о петле. Прежде всего, мы показали возможность существования диска с наименьшей площадью во вложенном (и, следовательно, несамопересекающемся) пространстве. Однако в этом частном случае (называемом эквивариантным) необходимо было рассматривать не один диск, а множество симметричных пар — нечто подобное многочисленным отражениям в кривом зеркале. Случай, рассмотренный нами, предполагал конечное, хотя и произвольно большое число зеркальных отражений — или симметричных пар. Мы доказали, что диск минимальной площади ни при каких условиях не пересекается ни с самим собой, ни с дисками из его группы симметрии. Можно сказать, что диски, принадлежащие одной группе, «параллельны» друг другу за одним только исключением: в тех случаях, когда диски все же пересекаются, они должны полностью совпадать.