Итак, чем же занимается геометрический анализ? Рассмотрим сначала простейший пример. Предположим, что вы нарисовали окружность и сравнили ее с произвольной петлей или замкнутой кривой, которая имеет несколько меньшую длину, — в роли подобной петли может выступать обычная резинка, небрежно брошенная на письменный стол. Эти две кривые выглядят совершенно различными и, естественно, имеют разную форму. Однако можно представить, как резинка деформируется (или растягивается) и превращается в окружность — такую же, как та, что нарисована на бумаге.

Существует много способов сделать это. Вопрос в том, какой из них лучше? Иными словами, существует ли такой способ, который будет безотказно работать во всех возможных случаях и никогда не приведет к возникновению узлов или перекручиваний? Можно ли найти этот универсальный способ, не прибегая к методу проб и ошибок? Узнать все это можно в рамках геометрического анализа, который позволяет, исходя из геометрии произвольной кривой (в нашем случае резинки), сделать выводы о способах ее преобразования в окружность. Этот процесс не должен быть произвольным. Строго определенный или — еще лучше — канонический путь превращения нашей кривой в окружность однозначно определяется ее геометрией. Для математиков слово канонический является синонимом слова «единственно верный», что, впрочем, иногда звучит излишне строго. Представим себе, что мы хотели бы попасть с Северного полюса на Южный. Существует бесконечно много меридианов, соединяющих эти точки. Каждый из меридианов будет кратчайшим путем, но ни один из них не будет единственно верным; вместо этого мы называем такие пути каноническими.

Те же вопросы остаются актуальными и в случае более высоких размерностей. Вместо окружности и резинки теперь можно сравнить сферу или полностью надутый баскетбольный мяч со сдутым баскетбольным мячом с разнообразными углублениями и выступами. Задача состоит в том, чтобы превратить сдутый баскетбольный мяч в идеальную сферу. Конечно, для этого лучше всего использовать насос, но можно и математику. Математическим аналогом насоса в геометрическом анализе является дифференциальное уравнение, служащее движущим механизмом процесса преобразования формы путем крошечных непрерывных изменений. Стоит только определиться с начальной ситуацией (геометрией сдутого мяча) и найти подходящее дифференциальное уравнение — и задача будет решена.

Самым тяжелым во всем этом является нахождение подходящего для данного случая дифференциального уравнения, равно как и выяснение, существует ли в принципе уравнение, подходящее для данной задачи. К счастью, Морри и другие математики создали немало инструментов для анализа дифференциальных уравнений, при помощи которых можно узнать, имеет ли решение задача, с которой мы столкнулись, и, если да, то является ли это решение единственным.

Описанный выше тип задач принадлежит к категории задач, известных как геометрический поток. Подобные задачи в последнее время привлекли достаточно большое внимание по причине их использования в доказательстве сформулированной сто лет назад гипотезы Пуанкаре, о которой еще пойдет речь в этой главе. При этом, однако, необходимо отметить, что задачи данного типа составляют лишь часть круга исследований геометрического анализа, который охватывает гораздо большую область возможных применений.

Говорят, что, для того кто держит в руке молоток, любая проблема кажется гвоздем. Загвоздка лишь в том, как правильно определить направление «удара», необходимое для того, чтобы разрешить ту или иную задачу. Так, одним из важных классов задач, для решения которых используется геометрический анализ, является исследование минимальных поверхностей. Для таких гвоздей геометрический анализ порой является идеальным молотком.

Рис. 3.4. Кратчайшее расстояние между точками А и В проходит по дуге большого круга, который в данном случае совпадает с экватором, через точку Р. Этот путь носит название геодезической линии. Путь из А в В через точку Q также называется геодезической линией, хотя он и не соответствует кратчайшему расстоянию между точками. Однако он является кратчайшим по сравнению с другими путями, лежащими в непосредственной близости от него

Рис. 3.5. Жозеф Плато выдвинул гипотезу, согласно которой для любой простой замкнутой кривой можно найти минимальную поверхность — иными словами, поверхность минимально возможной площади, ограниченную данной кривой. Минимальной поверхностью, натянутой на замкнутую кривую, показанную жирной линией, в данном случае является так называемая поверхность Эннепера, названная в честь немецкого математика Альфреда Эннепера. (Изображение предоставлено Джоном Ф. Опреа)

Любой человек неоднократно сталкивался с минимальными поверхностями. При погружении пластмассового кольца из набора для пускания пузырей в сосуд с мыльной водой действие поверхностного натяжения приводит к тому, что образующаяся мыльная пленка принимает совершенно плоскую форму, стремясь иметь минимальную возможную площадь. Выражаясь математическим языком, минимальная поверхность является наименьшей по площади из всех поверхностей, которые можно натянуть на заданный замкнутый контур.

Задачи на нахождения минимума уже на протяжении сотен лет играют одну из ведущих ролей в геометрии и физике. Так, в XVII столетии французский математик Пьер Ферма показал, что свет, проходя через различные среды, всегда следует по тому пути, который требует наименьшего времени, что впоследствии привело к открытию так называемого «принципа наименьшего действия», ставшему одним из первых фундаментальных физических принципов, основанных на понятии нахождения минимума.

По словам стэнфордского математика Леона Симона, «мы постоянно сталкиваемся с подобным явлением в природе, поскольку из всех возможных конфигураций всегда реализуются только те, которые имеют наименьшую энергию»[27]. Поверхность, обладающая наименьшей возможной площадью, соответствует состоянию с минимальной энергией, которое, при прочих равных условиях, всегда будет предпочтительным. Поверхность с наименьшей площадью будет иметь нулевую нормальную составляющую поверхностного натяжения, иными словами, средняя кривизна этой поверхности также будет равна нулю. По этой причине поверхность жидкости имеет плоскую форму (с нулевой кривизной) и точно такую же форму имеют мыльные пленки.

В области исследований минимальных поверхностей присутствует некоторая путаница, берущая свое начало в терминологии, не изменявшейся на протяжении столетий, несмотря на постепенное усложнение математических понятий. Дело в том, что существует еще один класс поверхностей, которые также иногда называют минимальными, хотя они и не обязательно имеют минимальную площадь. Этот класс включает поверхности, площадь которых меньше, чем площадь других поверхностей, ограниченных тем же контуром, — это могут быть как истинно минимальные поверхности или «основные состояния» так и поверхности, носящие название стационарных, которые имеют минимальную возможную площадь на отдельных участках (локально), но не в целом (глобально). Поверхности этого типа, имеющие нулевую нормальную составляющую поверхностного натяжения и нулевую среднюю кривизну, весьма интересны как математикам, так и инженерам. Мы привыкли думать о минимальных поверхностях как о членах одного семейства, весьма похожих между собой. И поскольку каждая из этих поверхностей по-своему интересна, все их можно считать уникальными.

Нахождение кратчайшего пути является одномерным вариантом более сложной задачи нахождения минимальной поверхности для большего числа измерений. Кратчайший путь между двумя точками — будь то прямая линия, плоскость или дуга окружности, соединяющая две точки на земном шаре, — иногда называют геодезической линией, хотя это понятие, также вызывая путаницу, включает в себя и те пути, которые не обязательно являются кратчайшими, что, впрочем, не мешает им иметь большое значение для геометров и физиков. Если на дуге большого круга взять две точки, не лежащие на противоположных полюсах, то возникнет сразу два возможных пути из одной точки в другую — короткий и длинный. Оба пути представляют собой геодезические линии, но лишь один из них соответствует кратчайшему расстоянию между точками. Более длинный путь также имеет минимально возможную длину, однако только локально, среди всех возможных путей, проходящих вблизи данной геодезической линии. При рассмотрении всех возможных вариантов этот путь уже не будет кратчайшим — более кратким будет противоположный ему путь. Ситуация становится еще более запутанной в случае эллипсоида — поверхности, имеющей форму сплюснутой сферы, которую можно получить, вращая эллипс вокруг одной из его осей, — на эллипсоиде существует много геодезических линий, не являющихся кратчайшими путями из всех возможных.