Если помните, в главе 4 говорилось о том, что разрешающая способность светового луча не превышает длины его волны. В данном случае Бекенштейн не собирался рассматривать детали на горизонте; наоборот, горизонт должен был выглядеть максимально размытым. Хитрость была в том, чтобы использовать такой длинноволновый фотон, чтобы он распределился по всему горизонту. Иными словами, если горизонт имеет шварцшильдовский радиус то фотон должен иметь такую же длину волны. Кажется, что можно использовать и более длинные волны, но такие фотоны будут отскакивать от чёрной дыры, а не захватываться ею.
Бекенштейн подозревал, что добавление лишнего бита к чёрной дыре вызовет прирост её размера, пусть и очень небольшой, подобно тому как добавление лишней молекулы резины к воздушному шарику ненамного его увеличит. Однако для вычисления этого прироста требуется несколько промежуточных шагов. Давайте сначала бегло с ними ознакомимся.
1. Первым делом надо узнать, насколько увеличится энергия чёрной дыры при добавлении одного бита информации.
2. Далее нужно определить, насколько изменится масса чёрной дыры с добавлением лишнего бита. Для этого вспомним знаменитую формулу Эйнштейна:
E=m∙c2
Однако нам понадобится обратить её, что позволит узнать изменение массы по величине добавленной энергии.
3. Когда масса определена, можно вычислить изменение шварцшильдовского радиуса, используя ту же формулу, которую вывели Митчел, Лаплас и Шварцшильд (см. главу 2):
Rs=2∙M∙G/c2
4. Наконец, надо определить прирост площади горизонта. Для этого нужна формула площади сферы:
Площадь горизонта = 4π∙Rs2
Начнём с энергии однобитного фотона. Как я уже объяснял, фотон должен иметь достаточно большую длину волны, чтобы его положение внутри чёрной дыры было неопределённым. Это значит, что длина волны должна быть Rs. Согласно Эйнштейну, фотон с длиной волны Rs имеет энергию E, определяемую следующей формулой:[72]
E=h∙c/Rs
В этой формуле h — постоянная Планка, а c — скорость света. Из неё следует, что сбрасывание в чёрную дыру одного бита информации добавляет ей энергию величиной h∙c/Rs.
Следующий шаг — это расчёт изменения массы чёрной дыры. Для пересчёта энергии в массу её надо разделить на c2, а значит, масса чёрной дыры возрастёт на величину h/Rs∙c:
Изменение массы = h/Rs∙c
Подставим в эту формулу числа, чтобы увидеть, сколько же добавит один бит к массе чёрной дыры, имеющей массу Солнца.
Постоянная Планка, h=6,6∙10−34
Шварцшильдовский радиус чёрной дыры, Rs = 3000 м
Скорость света, c=3∙108
Гравитационная постоянная, G=6,7∙10−11
Таким образом, один бит информации добавляет к чёрной дыре солнечной массы поразительно малую величину:
Прирост массы = 10−45 килограмма.
И всё же, как говорится, «это больше, чем ничто»[73].
Перейдём к третьему шагу: используем связь между массой и радиусом для вычисления изменения Rs. В алгебраической форме ответ будет таким:
Прирост Rs=2∙h∙G/(Rs∙c3)
У чёрной дыры солнечной массы Rs составляет около 3000 м. Если подставить все числа, то окажется, что радиус увеличится на 10−72 м. Это не только безмерно меньше протона, но также безмерно меньше планковской длины (10−35 м). При таком малом изменении непонятно, зачем мы вообще это вычисляем, но было бы ошибкой пренебречь этой малостью.
Последний шаг состоит в определении того, насколько изменится площадь горизонта. Для чёрной дыры солнечной массы прирост площади горизонта составляет около 10−70 квадратного метра. Это очень малая величина, но опять, «это больше, чем ничто». И не просто больше, чем ничто, а нечто совершенно особое: 10−70 м2, оказывается, как раз равняется одной квадратной планковской единице.
Это случайное совпадение? Что получится, если взять чёрную дыру земной массы (размером с клюквину) или чёрную дыру в миллиард раз массивнее Солнца? Попробуйте — с числами или с формулами. Каков бы ни был исходный размер чёрной дыры, всегда выполняется правило:
Добавление одного бита информации увеличивает площадь горизонта любой чёрной дыры на одну планковскую единицу площади, или на одну квадратную планковскую единицу.
Каким-то образом в принципах квантовой механики и общей теории относительности скрыта загадочная связь между невидимыми битами информации и кусочками площади планковского размера.
Когда я объяснил всё это на своём подготовительном курсе по физике в Стэнфорде, кто-то на заднем ряду протяжно присвистнул и произнёс: «Кру-у-уто». Это действительно круто, а ещё глубоко и, вероятно, содержит ключ к загадке квантовой гравитации.
Теперь представьте формирование чёрной дыры бит за битом, так же как можно наполнять ванну атом за атомом. Каждый раз при добавлении бита информации площадь горизонта прирастает на одну планковскую единицу. К тому времени, когда чёрная дыра будет готова, площадь её горизонта окажется равной общему числу битов скрытой в ней информации. Так что главное достижение Бекенштейна можно суммировать тезисом:
Энтропия чёрной дыры, измеренная в битах, пропорциональна площади её горизонта, измеренной в планковских единицах.
Или, ещё более кратко:
Информация равна площади.
Это выглядит почти так, как если бы горизонт был плотно покрыт несжимаемыми битами информации; сходным образом можно плотно покрывать столешницу монетами.
При добавлении новых монет площадь, занятая всеми монетами вместе, будет расти. Биты, монеты — принцип один и тот же.
Единственная проблема с этой иллюстраций заключается в том, что на горизонте нет монет. Будь они там, Алиса обнаружила бы их, падая в чёрную дыру. Согласно общей теории относительности, для свободно падающей Алисы горизонт — это невидимая точка невозврата. Сама возможность для неё встретить что-то вроде стола с монетами прямо противоречит эйнштейновскому принципу эквивалентности.
Этот конфликт — очевидная несовместимость между представлением о горизонте как о поверхности, плотно заполненной материальными битами, и как о точке невозврата — и стал казус белли для Битвы при чёрной дыре.
Другой момент, озадачивающий физиков с момента открытия Бекенштейна: почему энтропия пропорциональна площади горизонта, а не внутреннему объёму чёрной дыры? Кажется, что внутри пропадает огромное количество места. Фактически чёрная дыра ужасно похожа на Птолемееву библиотеку. Мы ещё вернёмся к этому вопросу в главе 18, где увидим, что весь мир — это голограмма.
Хотя Бекенштейн пришёл к правильному выводу — энтропия чёрной дыры действительно пропорциональна площади, его доказательство не было идеально строгим, и он об этом знал. Он не говорил, что энтропия равна площади, измеренной в планковских единицах. Из-за ряда неопределённостей в его выкладках он мог лишь утверждать, что энтропия чёрной дыры примерно равна (или пропорциональна) её площади. В физике слово «примерно» — очень ненадёжное. Означает оно удвоенную площадь или четверть площади? Хотя доказательство Бекенштейна и было блестящим, оно не позволяло точно определить коэффициент пропорциональности.
В следующей главе мы увидим, как открытие Бекенштейном энтропии чёрных дыр привело Стивена Хокинга к величайшему озарению: чёрные дыры обладают не только энтропией, как совершенно верно догадался Бекенштейн, но у них также есть и температура. Это не бесконечно холодные, мёртвые объекты, какими физики их себе представляли. Чёрные дыры высвечивают свою внутреннюю теплоту, но в итоге эта теплота приводит к их гибели.
