Однако реальный характер познания в математике оказался не столь простым. Для многих разделов математики существенным является оперирование с бесконечностью (бесконечность натурального ряда чисел в арифметике, бесконечные переходы в интегральном и дифференциальном исчислении и т. д.). Между тем, вывести утверждения о бесконечности из простых высказываний формальной логики оказалось невозможным. В начале XX столетия выяснилось, что во многих случаях оперирование математической бесконечностью ведет к парадоксам (неразрешимым противоречиям).

Представьте себе, что вы работаете в гардеробе театра. Пришедшие на спектакль зрители сдали вам свои пальто и получили от вас номерки. Ясно, что каждому сданному пальто соответствует свой номерок. Не может быть, чтобы количество пальто и номерков не совпадало. В математике совокупность предметов, объединяемых по некоторому признаку, называют множеством. В данном случае мы имеем два множества: пальто и номерков. Когда каждому элементу одного множества можно поставить в соответствие один и только один элемент другого множества, мы говорим о том, что эти два множества равномощны (на более привычном нам, хотя и менее строгом с математической точки зрения языке, мы можем сказать, что в этом случае два множества содержат равное количество элементов). Если же мы не на все пальто выдавали номерки, то, разумеется, равномощности двух множеств не получится: одно из них (в данном случае множество пальто) будет «мощнее» другого (множества номерков). Одно множество может быть частью другого. Так, например, множество всех мужчин данного города является частью множества всех его жителей. Во всяком случае, когда мы имеем дело с конечными множествами, всегда легко можно установить отношения между множествами: являются ли они равномощными или неравномощными или же одно из них является частью другого.

Но вот когда мы переходим к множествам бесконечным, дело основательно запутывается.

Представьте себе множество всех натуральных чисел: 1,2,3,4,5,6, 7,8…. Ясно, что это множество бесконечно. А теперь представьте себе множество всех четных чисел: 2,4,6,8…. Ясно, что и это множество тоже бесконечно. Не менее ясно и то, что четные числа составляют лишь часть всех натуральных: ведь четным является не всякое натуральное число, наряду с четными существуют и нечетные натуральные числа. Если одно множество составляет часть другого, разумеется, оно уступает по мощности тому множеству, в которое оно входит. Значит, мощность всех четных чисел гораздо меньше мощности всех натуральных чисел. Но теперь давайте проделаем такую процедуру. Сопоставим каждый элемент множества всех четных чисел с каждым элементом всех натуральных чисел. Иными словами, поставим в соответствие числа 2 и 1, 4 и 2, 6иЗ, 8 и 4, 10 и 5 и т. д. Ясно, что каждому элементу одного из этих множеств мы можем поставить в соответствие один и только один элемент другого. Значит, два множества равномощны. Но ведь этого же не может быть, поскольку одно из них только часть другого! Мы пришли к парадоксу, неразрешимому противоречию.

При действиях с бесконечными множествами такого рода парадоксов возникает немало. Для их разрешения предлагались разные средства, в том числе связанные с новым пониманием бесконечности в математике не как законченного, «данного» множества, а как процесса, как возможности бесконечного повторения некоторых элементарных операций. Самое интересное состоит в том, что при подобном понимании бесконечности приходится не только иначе понять целый ряд разделов математики, но и отказаться при оперировании с бесконечностью от одного из основных логических законов: закона исключенного третьего (который гласит, что каждое из двух утверждений, противоречащих друг другу — например, «Это моя книга» и «Это не моя книга» — является либо истинным, либо ложным). Выходит, что приходится внести существенные поправки в традиционное понимание априорности математического знания как чего-то совершенного, неизменного и не зависящего от развития познания. Получается, что могут меняться наши представления о принципиальных понятиях математики, что мы иногда вынуждены пересматривать старые результаты и даже отказываться от некоторых из них. Оказывается, что даже применение основных логических законов, которые лежат в основании всей математики, зависит от той предметной области, с которой мы имеем дело (закон исключенного третьего действует в отношении конечных множеств и неприменим в случае бесконечных процессов).

Так возникает мысль, что, по видимому, математика все же каким-то образом связана с опытом, хотя эта связь очень сложна и отлична от связи с опытом остальных видов знания.

К этой же мысли приводит размышление и над другими событиями, случившимися в математике в XIX–XX столетиях.

Как вы знаете, изучаемая вами в школе геометрия (называемая эвклидовой, по имени великого древнегреческого математика Эвклида, который сформулировал ее основные положения) исходит из ряда аксиом и постулатов. Один из постулатов эвклидовой геометрии гласит: если вне данной прямой дана точка, то через нее можно провести только одну прямую, параллельную данной. В XIX веке великий русский математик Лобачевский поставил вопрос: а что, если отказаться от этого постулата и заменить его другим, согласно которому таких прямых будет не одна, а множество? Можно ли в этом случае создать иную, неэвклидову геометрию со своими теоремами? Лобачевский построил такую неэвклидову геометрию, которую он назвал «воображаемой», так как считал, что та геометрия, которая соответствует нашим представлениям о пространстве, может быть только эвклидовой. После Лобачевского и другие математики создали несколько систем неэвклидовой геометрии. Но в XX столетии, когда Эйнштейном была создана теория относительности, описывающая физическую реальность и проверяемая на опыте, оказалось, что именно неэвклидова геометрия соответствует физике нашего мира. Выясняется, что геометрия тоже связана с опытом. Эвклидова геометрия хорошо описывает наш обычный опыт. А в тех случаях, когда мы имеем дело с Вселенной в целом, наиболее подходящей для описания характеристик пространства будет неэвклидова геометрия.

Сейчас многие ученые приходят к выводу, что нужно отказаться от понимание математики как чисто дедуктивной науки, в которой нет места для выдвижения разного рода предположений (гипотез), их сопоставления с определенного рода опытом, уточнения и изменения этих гипотез, а, возможно, и их опровержения (что характерно для всех остальных наук). Англо-венгерский философ Лакатос изучал под этим углом зрения историю математики и пришел к интересным выводам на примере доказательств, опровержений и уточнений так называемой стереометрической теоремы, относящейся к соотношению между числами сторон, вершин и граней многогранника. Лакатос показал, что история этой теоремы — это история выдвижения разных предположений, которые затем опровергались приводимыми новыми примерами, уточнялись, формулировались снова и т. д. В существенных чертах этот процесс очень напоминает то, что делается во всех опытных науках.

Таким образом, математика представляет собой особый вид знания. Если и существует связь математических знаний с опытом (а, невидимому, это так), то эта связь очень сложная и не всегда очевидная. Вместе с тем математика всегда играла исключительную роль в развитии науки. Большинство ученых и философов считали, что настоящее, т. е. точное знание о природе, обществе и самом человеке может быть выражено только на математическом языке. Так ли это? Об этом мы узнаем в дальнейших разделах.

В науках о природе мы имеем дело с законами. Когда мы формулируем закон, мы утверждаем, что между некоторыми событиями существует связь особого рода. Во-первых, это связь необходимая, во-вторых, связь причинная, в-третьих, связь всеобщая. Попробуем разобраться в этом.