Если Декарт соединил алгебру с геометрией, то Лейбниц соединил логику с математикой, а открытие дифференциального исчисления усилило связь математики и физики. «Анализ бесконечно малых, — писал он, — дал нам средство соединить геометрию с физикой…» (4, с. 342). Это были диалектические идеи с огромными для науки последствиями. Впрочем, Кант и Гегель снова «развели» в разные стороны логику и математику, и только к концу XIX в. идеи Лейбница, открытые заново, пробили себе путь.
Синтезируя логику и математику в единую дисциплину, Лейбниц стремился реализовать две основные мысли. Первая из них состояла в интерпретации мышления как оперирования знаками, что ясно наметилось уже у Р. Луллия, Б. Паскаля, Т. Гоббса и Э. Вейгеля, но теперь было поставлено в центр интенсивного и компетентного комбинаторного анализа. Оперирование знаками должно быть упорядочено в виде исчисления. «Исчисление, или оперирование, состоит в создании отношений, осуществляемых через преобразования формул по некоторым (gewissen) предписанным законам» (19, S. 114).
Построение исчисления мыслей надо начать с выработки их алфавита, в котором словами и более компактными знаками были бы точно обозначены вещи, процессы и их реальные соотношения (14, 7, S. 190–193). Точное описание элементов мышления позволит сконструировать его упорядоченную аксиоматику. Каждое имя будет понято как коннотация свойств вещи, и «значения терминов, т. е. определения вместе с тождественными аксиомами, образуют принципы всех доказательств» (4, с. 381, ср. 19, S. 450). Так сложилась бы characteristica universalis (всеобщая система знаковых обозначений), которая помогла бы упорядочению имеющихся знаний, усовершенствованию исследований, облегчила бы связь всех наук друг с другом и сотрудничество ученых разных стран.
Аналитический характер всех необходимоистинных высказываний, настойчиво постулируемый Лейбницем, указывал дорогу развитию логики на базе математики как математической, символической логики. Работа Лейбница «О комбинаторном искусстве» (1666) провозглашала соединение Аристотелевой логики со знаковым исчислением и открывала новые горизонты. Философ не только защитил силлогистику от нападок Гоббса, Декарта и Локка, заявив, что она «есть одно из прекраснейших и даже важнейших открытий человеческого духа» (4, с. 423), но и сделал тот шаг, без которого силлогистика была обречена на застой. Как ни порицал Гегель Лейбница за внедрение «механических» приемов в логику, за этими приемами было великое будущее.
Лейбниц оказал, видимо, влияние на теоретиков, которым пришлось открывать математическую логику заново, — на де Моргана, Фреге, Пеано. И Рассел (1900), и Кутюра (1901) начали свои исследования по математической логике именно с работ о Лейбнице и признали в Лейбнице ее основателя. «В области логики и математики, — писал Рассел в 1937 г. в предисловии к изданию своей книги о Лейбнице, — многие из его мечтаний осуществились и показали наконец, что они нечто большее, чем фантастические выдумки, как это казалось всем тем, кто выступал после него вплоть до настоящего времени» (43).
Другая мысль, воодушевившая Лейбница, состояла в ориентации на самое широкое применение логического исчисления. Г. Шольц (в статье 1942 г.), Г. Мартин (41), Р. Йост (47) и Н. Решер (42) подчеркивают, что великий мыслитель проложил путь математической логике в философию и это обещало придать последней столь недостающую ей точность (правда, лишь в дальнейшем, ибо философское применение самим Лейбницем ряда логических понятий, как и понятий «дифференциал», «бесконечность» и других, было не точным). Формальное оперирование символами, исчисление их (calculus ratiocinator), о чем лишь мечтали Декарт и Гоббс, призвано было внести глубокие изменения во все области знания, очистить их от схоластики, уточнить используемые выражения и алгебраизировать мышление ученых.
Всеобщее символическое исчисление, введенное в научную практику повсюду, по мнению Лейбница, позволит в будущем прийти к тому, что, «если между людьми возникнут споры, потребуется лишь сказать: „Подсчитаем!“, дабы без дальнейших околичностей выяснить, кто прав» (19, S. 16). В письме Лопиталю от 23 апреля 1693 г. Лейбниц подчеркивал, что видит секрет успеха в тщательной разработанности не только первичного алфавита понятий, но и искусства его употребления, которое выводило бы истинные предложения из комбинаций простых идей или неопределяемых терминов. Это были очень плодотворные мысли.
Мыслитель надеялся, что истинный метод комбинирования сослужит роль нити Ариадны, причем «универсальная математика (mathesis universalis)» должна состоять из двух частей, из которых первая — это «комбинационное искусство (ars combinatoria)», применяемое к предварительно обозначенным знаками качества вещей, а другая — логистика или логическая алгебра, оперирующая любыми количествами и любыми объектами, которые поддаются количественному выражению. Таким образом, мечтания Лейбница о совершенной универсальной науке опирались на понимание тех колоссальных преимуществ, которые несет за собой последовательная и всесторонняя формализация (см. 14, 7, S. 43–49, 218–227). В заметках 1675 г. он превозносил «универсальную математику» как «логику творческой силы (der Einbildungskraft)» (19, S. 452).
Правда, Лейбниц преувеличивал возможности строгих исчислений. Абсолютно всеобъемлющее исчисление неосуществимо, и познавательный процесс, как писал сам Лейбниц, бесконечен. Но несколько преувеличены критические замечания по адресу Лейбница иного рода: ряд авторов, как, например, молодой Рассел, упрекали его в том, что его стремление удержать вследствие известных онтологических воззрений логику в рамках субъектно-предикатной схемы предложений мешало пойти дальше арифметизации силлогистики. Однако Н. Решер (42, р. 77), Г. Шольц и Г. Мартин (41) справедливо оценивают подобные упреки как преувеличение, указывая на то, что Лейбниц обратил внимание и на изучение иных отношений, чем неравенство, включение класса в класс или принадлежность признака вещи, а именно симметричности, транзитивности и других, но считал, что все отношения могут быть сведены к предикатам. Характерно и то, что он рассматривал пространство и время как отношения и предложил даже специальный знак для обозначения «отношения вообще».
Бесспорны значительные конкретные достижения Лейбница в логической науке. Очень плодотворным было уже само введение символики не только для переменных, но и для логических констант. Проницательные исследования Р. Кауппи показывают, что в логике Лейбница скрывались кроме двузначного исчисления высказываний модальное исчисление терминов со значениями «возможно» и «невозможно» и несовершенное модальное исчисление существований (40). Известно, что Лейбниц был предшественником Эйлера в геометрической интерпретации силлогистики, которую он истолковал также несколькими арифметическими способами (25, с. 444, 448). Только в XX в. должным образом были оценены изыскания философа в проблемах дефиниции тождества и синонимии, семантического различения между «смыслом» и «значением» имен и выражений и др. (см. подробнее 25, а также 59, с. 231–241).
Велики заслуги Лейбница в теоретическом и прикладном естествознании как ученого нового типа, организатора науки, борца за связь теории с практикой, за создание не только «способа доказывания» (ars judicandi), но и «искусства изобретений (ars inveniendi)». Энгельс писал: «Немец Лейбниц, рассыпая вокруг себя, как всегда, гениальные идеи без заботы о том, припишут ли заслугу открытия этих идей ему или другим, — Лейбниц, как мы знаем теперь из переписки Папена (изданной Герландом), подсказал ему при этом основную идею: применение цилиндра и поршня» (1, 20, с. 431). В 1672 г. Лейбниц значительно усовершенствовал счетную машину, ранее изобретенную Паскалем, став тем самым родоначальником машинной математики. Н. Винер считает, что Лейбниц выдвинул первые идеи о machina rationatrix, думающей машине.
Теоретические достижения Лейбница в математике обычно начинают перечислять с логизации математики и открытия дифференциального исчисления (1675), методологически связанного с принципом постепенных изменений. Это исчисление, наряду с изучением несоизмеримых отрезков, сходящихся рядов и теории асимптот, в свою очередь способствовало развитию его общей методологии, в частности анализу «случайных» истин. Лейбниц начал разработку исчисления вероятностей, важного с точки зрения установления гипотетических истин, исследовал специальные кривые, обратил внимание на теорию игр. Он долго размышлял над «лабиринтом континуума», и результаты весьма интересны. В его философии оригинально истолкованы обозначенные им в математике лишь как фикции (14, 6, S. 629) понятия «сверхнумерической» бесконечности (бог) и актуальной бесконечно малой (монада), а ныне актуальная бесконечность обрела «второе дыхание» в так называемом нестандартном анализе. Примечательно навеянное отчасти Галилеем и близкое к расчленению бесконечности на актуальную и потенциальную решение проблемы геометрического континуума: в мире логически возможного «линия реальна, а точка — это только идеальный предел бесконечного деления; в метафизике же актуальны только окончательные составляющие, монады, а всякий образуемый ими континуум феноменален» (42, р. 111), как это и получилось в его учении о вещах-конгломератах. Таким путем удалось обойти парадоксы Зенона, но это еще не было их решением. Далеко было и до раскрытия диалектики прерывного и непрерывного и в сущности и в явлениях.
