На наиболее древнем этапе эта система была пятеричной: 1 — aš, 2 — min, 3 — *weš, 4 — lim.[278] Число 5 выражалось словом i,[279] которое, видимо, означало «пясть, рука». Далее шли «пясть + 1» и т. д. до «пясть + 4»: 6 — i-aš, 7 — i-min, 8— *i-weš,[280] 9 — i-lim. Хотя язык, таким образом, различал счет на левой и счет на правой руке, счетные знаки исходили из двуручного, т. е. десятичного, счета и числа от 1 до 9 изображались соответствующим числом палочек, а на глине — полукружий или черточек, позднее превратившихся в клинообразные углубления. Из десяток собственные наименования имели только первые две: 10 — u,[281] 20 — niš; далее шли 30 — uššu — «три + десять»,[282] «два(жды) двадцать» — ni(š)-min и «два(жды) двадцать и десять» — ni(š)-min-u. С шестой десятки, как и с шестой единицы, начинался новый счет: «60» называлось geš. Если единицы обозначались палочками или полукружиями либо черточками, то десятки от 10 до 50, возможно, камушками (на глине — кружками, оттиснутыми обратной, круглой стороной писчего тростникового «стиля», а позже — углом передней его части). С «60» можно было снова начинать счет палочками, а на глине — полукружиями или черточками, при желании большего размера. Если числа от 11 до 19 и т. п., очевидно, выражались называнием сначала десятки, потом соответственно единицы (а на глине — кружком и за ним полукружиями или «углышком» и «клиньями»), то десятки после «60» обозначались сложением слова geš — «шестьдесят» с названием десяток: u, niš, *weš-u, nimin, nimin-u (ninnu). Таким образом, geš-nimin — «шестьдесят и два-(жды) двадцать» означало 100, a geš-nimin-u — «шестьдесят — два(жды) двадцать и десять» означало 110. Особого названия для «сотни» не было; не было сотни и в счете, а число 120 обозначалось двумя «увеличенными» знаками для единицы. Позже, однако, единицу (клинообразную черту) стали ставить одинаковую для «единицы» и «шестидесятка», различая их только позиционно.
В шумерских храмовых и царских хозяйствах необходимо было оперировать большими числами (например, мер зерна) и производить довольно сложные хозяйственные расчеты. Для этого выработали «упрощенную» систему, в которой любое число записывается при помощи двух знаков: прямой клиновидной черты (обычно вертикальной) и «углышка» (в ассириологии называется немецким словом Winkelhaken). Первым знаком записываются числа 1;1 X 60 и все степени числа 60; вторым — десятки (от 10 до 50); десятки и единицы могут также означать данный десяток и данные числа единиц, умноженных на 60 или любую степень 60.
Таким образом создалась позиционная система, где порядки шестидесятеричные, а в пределах порядка есть специальное обозначение для десятков и для единиц. Арифметически (с точки зрения вычислителя) безразлично, означает ли клин единицу, или шестьдесят, или шестьдесят в какой-то степени, или шестидесятеричную дробь вида 1/60; операции легко производить на таблице-абаке, начерченной на земле, с помощью камушков двух цветов.[283] Результат, конечно, надо было переводить в бытовую систему исчисления; дело еще осложнялось тем, что системы мер были не во всех случаях десятеричными или шестидесятеричными, и к тому же именованные числа имели особые цифровые знаки, таким образом, что в мерах площади, например, «углышек» обозначал не 10, а 18 единиц и т. п.[284]
Аккадцы, в языке которых издавна господствовала строго десятеричная система, пользовались еще другой системой исчисления; в ней могло быть до девяти десятков, передававшихся «углышком», а числа 100 и 1000 выписывались слоговым образом: 1 me-at (или 1 me) = 100, 1 lim = 1000. Но шестидесятеричной позиционной системой пользовались для вычислений и они.
48. Математический учебный текст. Прорисовка А. А. Ваймана с эрмитажной таблички № 15073
Именно вычислительная техника занимала, несомненно, основную часть курса математики в э-дубе. Шестидесятеричная система требовала огромной таблицы умножения, и она являлась необходимым пособием не только для ученика, но и для писца-практика — администратора или юриста. Еще сложнее обстояло дело с делением. Вавилоняне не выработали сколько-нибудь удобных приемов деления и вместо деления производили умножение на «обратную величину» — дробь с единицей в числителе и нужным числом в знаменателе, выраженную в вышеописанной абстрактной позиционной системе. Таблицы обратных величин были важнейшим пособием писца; существовали также таблицы для перевода из различных метрологических исчислительных систем в абстрактную позиционную и наоборот, таблицы квадратов и квадратных корней и т. п. Существенным подспорьем были также списки обратных постоянных величин — как математических (диагонали квадрата, диаметра, радиуса,[285] площади круга, площади правильного треугольника и др.), так и эмпирических — норм урожайности, норм труда, норм материала, норм кладки кирпича, нормы переноски тяжести и т. п. Постоянные существовали и для вычисления рационов, которые были одинаковыми для всех работавших, независимо от социального положения (раб, член храмового или царского персонала, член общины и т. п.) и зависели только от пола и возраста.
Интересно, что курс математики, и только он, велся в э-дубе на аккадском языке, несмотря на то что вавилонская математика имела, безусловно, шумерское происхождение и что хозяйственные документы в период царства Ларсы все еще составлялись по-шумерски.
Задачи не формулировались абстрактно, они всегда оперировали с конкретными предметами, площадями, объемами и т. п. Но по их решению это задачи на квадратные уравнения, на теорему Пифагора (до Пифагора!).
Наиболее сложные арифметические операции требовались при задачах на обыкновенное деление, точнее, на умножение на обратную величину (самого термина «деление» вавилонские математики не знали). Эта операция была возможна только для «правильных» чисел, имеющих обратную величину, для которых, собственно, и составлялись все таблицы (даже таблицы умножения). Делить, скажем, на 7 вавилоняне умели только приближенно. Операция деления на «правильное» число выглядела так: «Обратную от а возьми, а ты видишь, умножь b на ā, n ты видишь». На «неправильные» делили так: «а не имеет обратной величины. Что надо взять с а, чтобы получить b? Надо взять n».[286] Ученику дается как бы подсказка, взятая из жизненного опыта. Разумеется, вавилоняне не пользовались алгебраическими обозначениями, и наши «а, ā, b, n» передают конкретные числа оригинала. Но учителя обычно избегали задач, требовавших операций с обратными величинами.
Мы сказали, что вавилоняне не имели термина «деление». Какие же арифметические термины у них были? Шум. gar-gar, аккад. kamāru[m] означало «складывать» (собственно, по-аккадски «скапливать»), шум. dah, аккад. wasābu — «прибавлять». «Арифметические понятия, которые выражаются этими терминами, не вполне совпадают, — пишет А. А. Вайман.[287] — Длина и ширина треугольника только „складываются“… По-видимому, термин „складывать“ употребляется для двух величин, которые выступают в процессе сложения как равноправные, а термин „прибавлять“ — для двух величин, одна из которых играла роль основной, а другая — подчиненной, предназначенной дополнить и увеличить основную». Однако сумма называлась по-шумерски только «сложение» (gar-gar), по-аккадски — только «сложенным» или «скопленным» (kummuru[m], kimirtu[m], nakmartu[m]).
