Сам Тарский кратко обсуждает два способа [315] связанные с применением конечных последовательностей переменной длины вместо бесконечных последовательностей, но он указывает и на некоторые недостатки этих альтернативных способов. Первый из них ведет к «значительным [или „довольно серьезным"] осложнениям» (ziemlich bedeutenden Komplikationen) при определении удовлетворения (Определение 22), в то время как недостаток второго состоит в «некоторой искусственности» (eine gewisse Kunstlichkeit), поскольку он приводит к определению истины (Определение 23 [р. 195 англ. перевода]) с помощью понятия «пустой последовательности», или «последовательности нулевой длины»[316]. В своих замечаниях я хочу обратить внимание на то, что сравнительно небольшое изменение процедуры Тарского позволяет нам оперировать с конечными последовательностями, не сталкиваясь с осложнениями или искусственностями (например, пустыми последовательностями), которые имел в виду Тарский. Этот способ позволяет нам сохранить весьма естественную процедуру, предусмотренную условием (6)Определения 22 Тарского (р. 193 англ. перевода), и таким образом избежать обходного пути, связанного с введением отношений — или свойств, — имеющих порядок, равный числу свободных переменных рассматриваемой пропозициональной функции. Предлагаемое мною изменение способа Тарского достаточно незначительно, но ввиду того, что Тарский ссылается на другие его варианты, имеющие значительные недостатки, а не на данный вариант, может быть, стоит описать и это небольшое улучшение[317].
Для этой цели полезно будет неформально упомянуть, во-первых понятие номера места n (place number n) (или n-го места) в конечной последовательности объектов, а во-вторых, понятия длины конечной последовательности f, то есть число мест в f (символически Np(f))равное самому большому номеру места в ней, и сравнения конечны последовательностей по их длине. Упомянем, в-третьих, что объект может занимать в последовательности определенное место — скажем, n-е, -и тогда его можно назвать [n-м индивидом или] n-м объектом, или n-м членом рассматриваемой последовательности. Следует отметить, что один и тот же объект может занимать разные места в одной последовательности так же как и в разных последовательностях[318].
Как и Тарский, я использую символы "f1", "f2", ... , "fi", "fk"» ... "fn" в качестве имен объектов, занимающих первое, второе, i-е, k-e, ... n-е места в последовательности f. Я пользуюсь обозначениями Тарского за тем исключением, что [по типографским соображениям] использув "Pky" для обозначения обобщения [или квантификации по общности выражения y по переменной vk[319]. Принимается, что к Определению (11)[320] Тарского добавлено Определение выражения «vk входит в пропозициональную функцию x» — это предположение ни в коей мере не выводит нас за пределы методов Тарского и фактически в неявном виде присутствует в процедурах самого Тарского.
Теперь мы можем заменить Определение 22 Тарского [р. 193]. Мы заменим его двумя определениями — предварительным Определением 22a и Определением 22b, которое соответствует собственному определению Тарского.
Определение 22а. Конечная последовательность объектов f адекватна пропозициональной функции x(или достаточно длинна относительно x), если и только если
для каждого натурального числа n,
если vn входит в x, то число мест в f по крайней мере равно n (то есть Np(f) ⩾ n).
Определение 22b [321].
Последовательность f удовлетворяет пропозициональной функции x, если и только если
f — конечная последовательность объектов,
x — пропозициональная функция, и
(1) f адекватна x,
(2) x соблюдает одно из следующих четырех условий:
(α) Существуют натуральные числа i и k такие, что x= li,k и fi ⊂ fk.
(β) Существует пропозициональная функция y такая, что x = y, и f не удовлетворяет y.
(γ) Существуют две пропозициональные функции у и z такие, что x = y + z и f удовлетворяет либо y, либо z, либо обеим.
(δ) Существует натуральное число k и пропозициональная функция y такая, что
(a) x = Pky,
(b) любая конечная последовательность g, длина которой равна f, удовлетворяет y, если только g соблюдает следующее условие: для любого натурального числа n, если n — номер места в f и n≠k, то gn = fn.
Теперь Определение 23 Тарского [р. 193] можно заменить любым из двух следующих эквивалентных[322] определений:
Определение 23+. x — истинное высказывание (то есть x∈Wr), если и только если (а) x — высказывание (x∈As) и (b) любая конечная последовательность объектов, адекватная x, удовлетворяет x.
Определение 23++. x — истинное высказывание (то есть x∈Wr), если и только если (a) x — высказывание (x∈As) и (b) существует по крайней мере одна конечная последовательность объектов, удовлетворяющая х.
Можно заметить, что Определение 23++ не требует предположения об адекватности упоминаемой последовательности. Можно также заметить, что в Определении 23+ (которое в точности соответствует определению Тарского) — но не в 23++ — условие (а) можно заменить условием «x — пропозициональная функция», достигая тем самым определенного обобщения, в частности, на пропозициональные функции со свободными переменными, такими как, например, функция li,i, то есть на универсально-значимые (allgemeingultige [верные для любой индивидуальной предметной области]) пропозициональные функции[323].
Аналогичным образом определение 23++, если распространить его на функции, приводит к понятию удовлетворимой (erfullbare) пропозициональной функции.
В заключение скажу, что в применении к эмпирической теории (по крайней мере частично формализованной) и особенно к неквантифицированным пропозициональным функциям такой теории, определение выполнения [или удовлетворения], то есть Определение 22Ь, выглядит совершенно «естественным» с интуитивной точки зрения, в основном потому, что оно обходится без бесконечных последовательностей [324].
Приложение 1
Бадья и прожектор: две теории познания{57}
Цель этой работы — подвергнуть критике широко распространенный взгляд на цели и методы естественных наук и выдвинуть альтернативную точку зрения.
