Впрочем, обязанностей у senior fellows много. Например, огромный квадратный двор колледжа, засаженный вековым газоном, имеет четыре асфальтовые дорожки к фонтану в центре. На этом газоне стоят объявления: «Keep off the grass, unless accompanied by a senior fellow» («Не ходите по траве, исключая сопровождение старшего товарища»).
Однажды я пытался пересечь двор по этим дорожкам, но мастер колледжа (сэр Майкл Атья) силой спихнул меня на газон и заставил идти по диагонали: «Во-первых, ты сам senior fellow, а во-вторых, ты идёшь с начальником колледжа!».
Из других объявлений замечательно запрещение входить в колледж с велосипедами и собаками. Говорят, что раньше запрет был на лошадей и собак. Байрон, будучи студентом (в холле Тринити-колледжа висит прекрасный его портрет тех времён) был очень недоволен этим запретом и, в конце концов, поселил в своей келье колледжа медведя. На возражения начальства он заявил, что это — новый ученик, а вовсе не собака и не лошадь: он куда умнее большинства студентов. Традиция велит уважать правила.
Итак, Харди и Литлвуд никогда не говорили между собой о математике. Зато каждый из них писал весь день, а вечером отправлял написанное другому (через сторожей колледжа, дежуривших у входа и разносивших ежедневно почту, что продолжается и сейчас).
После многократного путешествия текста туда и обратно он превращался в очередную замечательную совместную статью, происхождение которой иначе было бы трудно объяснить, учитывая разницу характеров и стилей обоих авторов. Стиль Литлвуда ясен из его замечательных воспоминаний «Математическая смесь».
Литлвуд был альпинистом, использовавшим сложность готической архитектуры Кембриджа для скалолазания. А в математике он был прямым наследником Ньютона и Пуанкаре, подрабатывая даже и работами по артиллерийской баллистике. Я был поражён, обнаружив его оценки длительности сохранения адиабатического инварианта в гамильтоновой системе (предшествовавшие и моему доказательству вечного сохранения этого инварианта, и знаменитым экспоненциальным оценкам Нехорошева в теории КАМ). Быть может, ещё поразительнее то, что «теория хаоса» в динамических системах, включая «подкову Смейла», уже была разработана и опубликована Литлвудом (и Литлвудом с Картрайт, которая мне об этом и сообщила) задолго до Смейла, Синая, Алексеева и Аносова.
Харди же, ничего в динамических системах и в артиллерии не понимал: он был «сверхчистым» снобом, гордившимся больше всего успехами в теории чисел, которую он, вслед за Гауссом, называл «королевой математики» (объясняя сходство теории чисел с королевой полной бесполезностью обеих). Похвалить при Харди какое-либо математическое достижение за его внематематические приложения означало полностью себя скомпрометировать в его глазах.
И вот, однажды Харди получил удивительное письмо из Мадраса с неожиданными математическими утверждениями, которые он не смог ни доказать, ни опровергнуть. Подумав некоторое время о том, гений ли автор или неудачник, Харди в конце концов пригласил его в Кембридж, где они затем несколько лет работали столь же оригинально и успешно, как с Литлвудом, с этим молодым индусом — Рамануджаном (бронзовый бюст которого украшает теперь Тата Институт фундаментальных исследований в Бомбее).
Результаты Рамануджана (1887–1920) оказались действительно гениальными, хотя путь, по которому он до них дошёл, и сегодня остаётся достаточно таинственным, тем более, что математическое образование Рамануджана оставляло желать лучшего.
Вероятно, Рамануджан часто опирался на эксперимент — на скрываемые им большие вычисления (компьютеров тогда не было). Но всего через несколько лет ещё молодой Рамануджан умер, оставшись навсегда самым славным именем в математике Индии.
Когда я жил в Кембридже в качестве senior fellow того же ньютоновского Тринити-колледжа, мои индийские коллеги, жившие там же, рассказали мне малоизвестные подробности жизни Рамануджана.
Однажды Рамануджана навестил в Тринити индусский физик Чандрасекар, приехавший из Америки. Комната друга показалась ему холодной, но Рамануджан объяснил ему, что по-настоящему он мёрзнет только по ночам — ведь в Кембридже бывают даже заморозки! Гость отправился осматривать условия в спальне, и тут выяснил, что Рамануджан спал на одеялах, не подозревая, что ими нужно укрываться (в Мадрасе этого не делают). Именно поэтому он так и мёрз, поэтому и заболел (кажется, сначала воспалением лёгких, а потом чахоткой) — эта болезнь и свела его в могилу совсем ещё молодым.
В этой истории, я думаю, виноват более всего снобизм Харди и его бурбакистская бесчеловечность, которые не позволили ему навестить своего больного ученика, жившего в одном с ним доме, и вовремя дать ему элементарные практические советы. Однако индийские коллеги, рассказавшие мне эту историю, и тактично избегая обсуждения английских нравов, связывали причину смерти Рамануджана с индийскими обычаями, по которым его жена осталась в Мадрасе, а не поехала с ним: ведь она должна была заботиться там о своей свекрови, матери Рамануджана — эта обязанность важнее, чем забота о муже!
С тех пор индусские студенты в Кембридже передают друг другу, как надо расстилать постель, и больше уже не замерзают. Странно, правда, что, несмотря на эти одеяла, вклад Рамануджана в математику остался непревзойдённым: его имя стоит рядом с именами Абеля и Галуа.
Один из самых знаменитых результатов Рамануджана связывает не вычислимые по отдельности (даже через числа π и е) слагаемые
удивительной формулой для их суммы:
Вот пример удивительных открытий Рамануджана — его теоремы о делимости чисел разбиений.
Для любого натурального числа n обозначим через р(n) число различных разбиений числа и на натуральные слагаемые. Например, р(3) = = 3, как это показывают три разбиения (других нет):
3 = 3, 3 = 2 + 1, 3 = 1 + 1 +1.
Числа разбиений при n = 1, 2, 3…. образуют последовательность
р(n) = 1, 2,3, 5, 7, 11, 15, 22, 30, 42, 56, 77, 101, 135, 176….
которая много изучалась, начиная с Эйлера, связавшего её с теорией степенных рядов и градуированных колец в своём «Введении в анализ».
Рост этой последовательности при больших и описывается асимптотической формулой Харди-Рамануджана-Радемахера
Согласно майору британской артиллерии МакМагону,
р(200) = 3 972 999 029 388.
(Это число можно вычислить по дающему большую точность приближению в правой части формулы.)
В этой формуле всё удивительно: в левой части стоит целое число чисто комбинаторного происхождения, задающее, сколькими способами можно разбить n на слагаемые.
В правой части стоит комбинация квадратного корня и экспоненциальной функции, в которой вдобавок участвуют иррациональные числа: π = 3,14… (задающее отношение длины окружности к её диаметру) и число Непера е = 2,718… (являющееся основой всего математического анализа).
То, что левая часть с большой точностью вычисляется по такой формуле, — совершенно удивительное открытие, где ярко проявляется фундаментальное единство всех частей математической науки: алгебры, геометрии, анализа, комбинаторики, теории вероятностей и техники приближенных вычислений.
Открытия Рамануджана делимости чисел разбиений состоят, например, в следующем:
числа р(5n + 4) [это 5, 30, 135…] делятся на 5.
Математика — экспериментальная наука, и свои открытия Рамануджан сделал, экспериментируя с приведённой выше последовательностью.
Восхищаясь гением Рамануджана, я всё же больше люблю чем-то более близких мне Абеля и Литлвуда. Доказательство Абеля неразрешимости в радикалах алгебраических уравнений степени 5 и выше я в 1963 году перевёл на топологический язык теории римановых поверхностей и групп монодромий накрытий — это доказательство я рассказал тогда московским школьникам, и один из них впоследствии издал это доказательство в виде книжки (В.Б. Алексеев. «Теорема Абеля в задачах и решениях» — М.: Наука, 1976). Поэтому в 2001 году один талантливый польский математик (долго обучавшийся в Москве) опубликовал по-английски своё «новое топологическое доказательство теоремы Абеля» в журнале «Топологические методы в нелинейном анализе».
