b) Чтобы понять логическую сущность тензора, будем исходить из определения модуля обычных комплексных чисел. Модуль комплексного числа есть квадратный корень из произведения самого числа на сопряженное с ним. Во–первых, что значит a—bi—число, сопряженное с а+b? Понимать его надо, конечно, векторно, как и вообще комплексное число. Но это значит, что в данном случае линия мнимостей имеет обратное направление. Направление для нас имеет только единственный диалектический смысл: это—вид становления. Следовательно, постулируя для всякого комплексного числа сопряженное с ним, мы постулируем просто возможность противоположных направлений становления. Но что же дальше?

Дальше мы наблюдаем судьбу нашего вещественного отрезка А В после того, как он вернулся в комплексную область, т. е. после того, как ОН'подвергся воздействию упомянутого становления. Раньше, будучи всецело вещественным, он давал нам определенное протяжение, равное а * вещественным единицам. Теперь, взявши ту или иную точку С на плоскости, мы видим, что расстояние АС совсем иное, чем АВ. АВ претерпело растяжение (или укорочение, что в данном случае безразлично), и это растяжение определяется положением выбранной нами точки на плоскости. Наш отрезок АВ повернулся на определенный угол и растянулся. Всмотримся в это растяжение.

Оно есть не только результат увеличения длины отрезка, но и результат поворота его на определенный угол. Но мы отвлечемся пока от этого поворота и будем рассматривать растяжение независимо от направления. Чтобы эта независимость от направления была не просто абстрактным допущением, но еще была и диалектически понятна, надо реально взять два противоположных направления и допустить, что это растяжение одинаково там и здесь. Если для взаимно противоположных направлений растяжение останется одним и тем же, то это и будет гарантией того, что растяжение действительно не зависит ни от какого направления вообще. Но как это сделать? Очевидно, необходимо допустить, что растяжение находится в одном и том же отношении к противоположным направлениям, что соотношение растяжения и направления в общем случае совершенно тождественно с этим же соотношением в другом случае. Другими словами, растяжение есть не что иное, как среднее геометрическое между числами, связанными с взаимно противоположными направлениями. Но числа с взаимно противоположным направлением и есть сопряженные комплексные числа. Отсюда и вытекает, что модуль (т. е. абсолютная величина) комплексного числа есть квадратный корень из произведения комплексного числа на сопряженное с ним.

Следовательно, определение модуля через сопряженные элементы есть в диалектическом смысле фиксация растяжения вещественного отрезка при данном переходе его в комплексную область, которое берется в аспекте полной независимости этого отрезка от всякого направления в комплексной области.

c) Теперь станет понятной и философская сущность тензора. Тензор кватерниона играет в четырехмерном пространстве, очевидно, ту же самую роль, что модуль комплексного числа в двухмерной области. «Тензор» значит «растягиватель». Одно растяжение мы получаем, когда переходим от линии к плоскости, т. е. отражаем плоскость на линии. Другое растяжение образуется при переходе в пространство. Но ведь мы представляем себе, что трехмерное пространство определенным образом выражено. Это значит, что мы соотносим его с четвертым измерением, хотя и не перешли в последнее в вещественном смысле, а только зафиксировали его на вещественном отрезке как мнимое. Тогда, следовательно, наше растяжение вещественного отрезка усложнится еще более, и—мы получим понятие тензора. Тензор одним махом охватывает всю деформацию, которая происходит с вещественным отрезком, когда он отображает на себе четырехмерное пространство.

d) Разумеется, соответствующее изменение получает и направление. На плоскости мы уже имеем определенный угол, на который повернулся наш отрезок. Полученное таким способом направление меняется в свою очередь при воздействии новой мнимой единицы, а эта трехмерная направленность усложняется еще дальше, когда заходит речь о третьей единице. Кватернион, таким образом, уже взятый сам по себе, гласит о тройном процессе растяжениями тройном процессе поворота данного вещественного отрезка прямой, причем поскольку он есть комбинация четырех разнонаправленных единиц, то и другое мыслится еще переносимым из одной области в другую (из одной системы координат в другую). Кватернион, таким образом, есть просто отрезок в четырехмерном пространстве, который вещественно явлен как определенная система растяжений и поворотов.

3. а) Особенно просто и рельефно это можно видеть на умножении кватернионов. Если сумма двух кватернионов не представляет собою ничего особенного, кроме обычного для комплексных чисел раздельного сложения вещественных и мнимых частей

q+q'={d+d')+i(a+a')+j(b+b')+k{c+c'),

то умножение кватернионов весьма интересно, хотя и аналогия его с векторным умножением вообще вполне очевидна. Так как векторное умножение обыкновенных комплексных чисел значительно проще, то вспомним сначала его.

ОМ и ON—два вектора, соответствующие двум разным комплексным числам. Требуется их перемножить. Так как умножить—значит повторить множимое столько раз, сколько единиц во множителе, то отложим на линии χ вектор Οβ, равный единице, и построим на линии ON треугольник OPN, подобный треугольнику OMQ. Тогда ОР будет как раз составлено из ОМ так, как ОМ составлено из OQ= 1. Или— ОР:ОМ=ОМ: 1, откуда

О Ρ=rr ^'; L POQ = L PON+ L NOQ,

что при LΜΟQ = φ и LMOQ = φ' и, ввиду подобия указанных треугольников, при LPON= LMOQ = φ дает

LPOQ = φ + φ' .

Другими словами: чтобы умножить одно комплексное число на другое, надо модули их перемножить, а аргументы сложить. Или: при умножении одного вектора на другой его абсолютная величина растягивается во столько раз, сколько единиц в абсолютной величине другого вектора, а сам он вращается в положительном направлении на тот угол, который характеризовал направление этого другого вектора. Умножение комплексных чисел, следовательно, есть соединение растяжения с поворотом.

b) Точно то же самое мы находим и в кватернионах. Нетрудно представить себе усложнение этого поворотного растяжения для случая трехмерного пространства, а затем и для четырехмерного пространства. Аналогично поведению модулей в комплексном умножении можно утверждать, что тензор произведения двух кватернионов равняется произведению их тензоров (это легко доказывается путем введения сопряженных кватернионов). А отсюда, припоминая из аналитической геометрии выражение для расстояния точки от начала координат равного √х ²+у ²+z ²+ w ², мы можем сказать, что уравнение в кватернионах q'=p q представляет собою не что иное, как определенное линейное преобразование точек х, у, z, w четырехмерного пространства в точки χ' y' z' w' дающее в результате вместо одного вектора другой и умножающее указанное выражение для расстояния точки от начала координат на один и тот же постоянный множитель τ=√a ²+b ²+c ²+d ². Тензор, таким образом, вполне характеризует растяжение отрезка, вступающего в четырехмерное пространство. Кроме того, из аналитической геометрии известно, что линейное преобразование х, у, ζ, при котором x ²+y ²+z ²является инвариантом расстояния от начала 0, есть не что иное, как вращение или зеркальное отражение. Не иначе, следовательно, и в четырехмерном пространстве, где таким инвариантом будет х ²+у ²+z ²+ w ². Стало быть, когда линейное преобразование помножает x ²+y ²+z ²+w ²на некоторый множитель τ ², то мы и получаем вращение вместе с растяжением всего пространства до τ–кратных размеров.

Если мы станем изучать результат нескольких вращений, то уже чисто зрительно будет заметно, какое значение имеет последовательность вращений. В зависимости от разного порядка вращений будет, вообще говоря, получаться и разное «тело вращения». Но сложение вращений, как мы сейчас видели, эквивалентно умножению кватернионов. Отсюда становится понятной и столь характерная для кватернионов некоммутативность умножения. Она, видим мы теперь есть не что иное, как зависимость суммы сложения вращений от порядка слагаемых. И, таким образом, отвлеченный аналитический признак кватерниона получает тут вполне понятное и убедительное истолкование.