Для полного синтеза необходимо полное исчерпание как всего категориального содержания алгебраичности, так и всего категориального содержания трансцедентности—это возможно не по категории ставшего, но по категории выражения. Можно ли сказать, что то и другое исчерпано в комплексном представлении мнимой степени трансцедентного? Конечно, нет. Алгебраичность есть потенция целого. Следовательно, потенция целого должна войти в наш синтез. Тем не менее комплексная величина представляется нами на плоскости, т. е. она берет только один из возможных элементов пространства и не берет его целиком. Правда, поскольку в алгебраическом числе речь идет не о целости как таковой, но о потенции целости, вовсе не обязательно фиксировать какое–нибудь определенное пространство и отбрасывать все прочие. Тут необходимо дать принцип перехода из одного измерения в другое, не ограничивая себя никаким заранее данным количеством измерений. С другой стороны, трансцедентность есть эманативная энергия инобытия, становления. Осуществлено ли это в комплексном числе? Тут дана только «двумерная», так сказать, энергийность, поскольку с вещественной точкой вещественной прямой соотнесена та или другая точка плоскости. Ясно, что становление тут хотя и является становлением становления, но оно не уходит в бесконечность становлений, как того требовала бы трансцедентная энергийность. Следовательно, и с этой стороны мнимая степень трансцедентности не есть полный диалектический синтез числа алгебраического и трансцедентного.

Разумеется, вовсе [не] необходимо фиксировать всю бесконечность измерений и всю бесконечность становлений. Необходимо только показать, как вообще мыслится в этом случае переход от одного измерения к другому и от одного становления к другому и как вообще мыслится та или иная целость измерений и становлений. Все же, однако, это не осуществимо средствами простых комплексных чисел и требует нахождения новой математически–логической категории.

2. Проще всего это мы сделаем так. Вспомним, что в диалектике не только антитезис является отрицанием тезиса и введением инобытия к нему, но и синтез есть отрицание антитезиса и введение нового инобытия к нему. Если это инобытие правильно подобрано, то оно и вернет нас к тезису, который ведь и есть не что иное, как отрицание отрицания. Комплексное число характеризует определенным образом направленную величину, или вектор (вспомним: вещественная и мнимая часть есть ведь только два слагаемых вектора). Следовательно, необходимо еще инобытие этого вектора или другой такой же вектор. Оба вектора должны быть чем–то единым. Тут–то и кроется подлинный синтез, который создаст нужную нам категорию выражения.

Когда мы имеем а–b bi, мы рассматриваем с точки зрения вещественной прямой—плоскость. Введем еще ряд таких же единиц мнимости: j ²=k ²= I ²= — 1. Пусть с нашей прямой а мы рассматриваем уже не плоскость, а пространство. Это значит, что мы должны выйти за пределы нашей комплексной плоскости, т. е. должны нашу новую мнимость j направить по перпендикуляру не к прямой а, но ко всей плоскости a+bi. Допустим, что мы дальше хотим наблюдать судьбу и самого трехмерного пространства, т. е. смотреть куда–то в четвертое измерение. Тогда еще новая мнимость к направит наш взор и в эту сторону, и наша прямая а станет носить на себе значимость четырехмерного пространства. И т. д. и т. д. Имея такое усложнение комплексов, мы уже реально обладаем и потенцией абсолютной целости, о которой говорило нам алгебраическое число, и всей бесконечностью пронизывающих друг друга становлений, о которой нам вещало число трансцедентное. Здесь уже решительно всякое становление из тех, которыми богата трансцедентность, превращается в фигурную выразительность, в «направление», в «измерение», понимаемое так конкретно, что его можно отождествить даже с соответствующими геометрическими образами. И здесь мы действительно получаем ту принципиальную числовую целость, которая дает нам представление о наглядно зримой числовой комбинации.

Это и есть т.н. гиперкомплексное число.

3. а) Нужно сказать, что еще Гаусс, и притом еще в докторской диссертации 1799 г., предположил для некоторых уравнений необходимость корней не вещественных и не комплексных, но более сложных, о свойствах которых сам Гаусс, однако, отказался высказать какоенибудь суждение. В начале 40–х годов к учению об этих новых числах пришли одновременно два математика, Г. Грассман и В. Гамильтон. Первый дал философско–математическое учение о многообразиях, в отношении которых геометрия должна быть только частным случаем; его два сочинения — «Учение о линейном протяжении» (1844 г.) и «Учение о протяжении» (1862 г.)  [904]. Гамильтон еще в 30–х годах обобщал комплексные числа в том смысле, что изучал соотношения векторов в пространстве на манер соотношения векторов на плоскости, существовавшего для обычных комплексных чисел. В 40–х годах эта разработка продолжилась, и в 1853 г. вышло большое сочинение «Lectures on quaternions», где была дана теория т. н. кватернионов, т. е. комплексных чисел с четырьмя единицами (одной вещественной и тремя мнимыми), после чего мы имеем еще «Elements of quaternions» (1866)  [905]. В дальнейшем кватернионами много занимались англичане, среди которых надо указать Моргана, Кэли, Сильвертра, Клиффорда и .др. Кватернионы получили развитие в том рмысле, что их стали привлекать для изучения взаимоотношения пар векторов в пространстве; возникли т. н. бикватернионы  [906]. Отсюда возникло и т. н. винтовое исчисление  [907].

b) В настоящее время эта теория гиперкомплексных чисел разрабатывается в двух науках. Во–первых, можно брать такие мнимые единицы, произведение которых относится к тому же самому классу Мнимостей, так что каждая единица является здесь не больше, как результатом линейного преобразования другой. И можно, во–вторых, иметь в виду такие единицы, произведение которых создает новые неприводимые единицы. Вслед за античными греками первое учение можно назвать линейными алгебрами и второе—всеобщей алгеброй.

Мы не станем входить в анализ этих дисциплин, а только ради образца коснемся кватернионов, входящих в первую из них, в линейную алгебру.

4. а) Как показывает самое название, в кватернионе мы имеем дело с четырьмя единицами. Первой единицей здесь является вещественная единица, как и в обыкновенных комплексных числах. Три остальные единицы—Мнимые с теми или иными коэффициентами; по Гамильтону, они обозначаются как / и к, и весь кватернион имеет такой вид:

q = d+ia+jb + kc.

Вещественная единица и операции с нею ничем не отличаются от обычных вещественных правил, так что

1 ²= 1, i*1=1*i=i, j*1=1*j=j, k*1=1*k=k

Что же касается мнимых единиц, то здесь сходно с обычными комплексными числами только общее их определение, т. е.

i ²=j ²=k ²=-1

В этом смысле все, что в § 107 говорилось о мнимости как о квадратном корне из отрицательной единицы, остается и для кватернионов в прежней силе. Далее, однако, этим мнимым единицам принадлежит фундаментальное свойство, резко отличающее их от всяких других единиц.

b) А именно, этим единицам не свойственна коммутативность умножения или, точнее, с переменой порядка сомножителей произведение меняет свой знак на обратный, т. е.

j*k=i, k*i=j, i*j=k

но при этом

k*j=-i, i*k=-j, j*i=k

Если не принимать интуиций, лежащих в основе кватернионов, то это свойство его мнимых единиц является вполне бессмысленным или по крайней мере необоснованным. В чем же, однако, тут дело? Дело в том, что мнимые единицы i, j, k: противоположны друг другу не в области одного измерения (тогда, если i предполагает только плоскость, j и к тоже оказались бы на плоскости и отождествились бы с О» но они противоположны друг другу как разные пространственные измерения. Количественно будучи одним и тем же, они еще выполняют некую «качественную» функцию, а именно они демонстрируют разные измерения. Поэтому кватернионы есть не что иное, как аналитическое выражение четырехмерного пространства. Подобно тому как обыкновенное комплексное число есть число плоскостное, т. е. двухмерное (ибо оно соотносит с точками данной вещественной прямой те или иные точки плоскости), подобно этому кватернион есть число (а следовательно, и пространство) четырехмерное (соотнося с данной вещественной прямой точки четырехмерного пространства). Отсюда выясняется и смысл некоммутативности умножения мнимых единиц кватерниона.