Этим способом мы как бы «развернули» колебания.

Развертывание нужно для того, чтобы сказать, где находился и куда двигался грузик маятника в тот или иной момент времени. Представьте себе, что бумага движется со скоростью 1 см/с с момента, когда маятник находился в крайнем положении, например слева, от средней точки. На нашем графике это начальное положение соответствует точке, помеченной цифрой 1. Через 1/4 периода маятник будет проходить через среднюю точку. За это время бумага продвинется на число сантиметров, равное (1/4) T– точка 2 на рисунке. Теперь маятник движется вправо, одновременно ползет и бумага. Когда маятник придет в правое крайнее положение, бумага продвинется на число сантиметров, равное (1/2) T, – точка 3 на рисунке. Маятник вновь идет к средней точке и попадает через (3/4) Tв положение равновесия – точка 4 на чертеже. Точка 5 завершает полное колебание, и дальше явление повторяется через каждые Tсекунд или через каждые Tсантиметров на графике.

Таким образом, вертикальная линия на графике – это шкала смещений точки от положения равновесия, горизонтальная средняя линия – это шкала времени.

Из такого графика легко находятся две величины, исчерпывающим образом характеризующие колебание. Период определяется как расстояние между двумя равнозначными точками, например между двумя ближайшими вершинами. Также сразу измеряется наибольшее смещение точки от положения равновесия. Это смещение называется амплитудой колебания.

Развертка колебания позволяет нам, кроме того, ответить на поставленный выше вопрос: где находится колеблющаяся точка в тот или иной момент времени. Например, где будет колеблющаяся точка через 11 с, если период колебания равен 3 с, а движение началось в крайнем положении слева? Через каждые 3 с колебание начинается с той же точки. Значит, через 9 с тело также будет в крайнем левом положении.

Нет нужды поэтому в графике, на котором кривая протянута на несколько периодов, – вполне достаточен чертеж, на котором изображена кривая, соответствующая одному колебанию. Состояние колеблющейся точки через 11 с при периоде 3 с будет такое же, как и через 2 с. Отложив на чертеже 2 см (мы ведь условились, что скорость протягивания бумаги равна 1 см/с, иными словами, что масштаб чертежа – 1 см равен 1 с), мы увидим, что через 11 с точка находится на пути из крайнего правого положения в положение равновесия. Величину смещения в этот момент находим из рисунка.

Для нахождения величины смещения точки, совершающей малые колебания около положения равновесия, не обязательно прибегать к графику. Теория показывает, что в этом случае кривая зависимости смещения от времени представляет собой синусоиду. Если смещение точки обозначить через y, амплитуду через a, период колебания через T, то значение смещения через время tпосле начала колебания найдем по формуле

Колебание, происходящее по такому закону, называется гармоническим. Аргумент синуса равен произведению 2π на t/ T. Величина 2π( t/ T) называется фазой.

Имея под руками тригонометрические таблицы и зная период и амплитуду, легко вычислить величину смещения точки и по значению фазы сообразить, в какую сторону точка движется.

Нетрудно вывести формулу колебательного движения, рассматривая движение тени, отбрасываемой на стенку грузиком, движущимся по окружности.

Смещения тени мы будем откладывать от среднего положения. В крайних положениях смещение yравняется радиусу круга a. Это амплитуда колебания тени.

Если от среднего положения грузик прошел по окружности угол φ, то его тень (рис. 44) отойдет от средней точки на величину asin φ.

Пусть период движения грузика (являющийся, конечно, и периодом колебания тени) есть T; это значит, что 2π радиан грузик проходит за время T. Можно составить пропорцию φ/ t= 2π/ T, где t– время поворота на угол φ.

Таким образом, φ = 2π t/ Tи y= asin 2π t/ T. Это мы и хотели доказать.

Скорость колеблющейся точки также меняется по закону синуса. К такому заключению нас приведет то же рассуждение о движении тени грузика, описывающего окружность. Скорость этого грузика есть вектор неизменной длины v ₀. Вектор скорости вращается вместе с грузиком. Представим мысленно вектор скорости как материальную стрелку, способную отбрасывать тень. В крайних положениях грузика вектор расположится вдоль луча света и тени не даст. Когда грузик от крайнего положения пройдет по окружности угол θ, то вектор скорости повернется на тот же угол и его проекция будет равна v ₀sin θ. Но по тем же основаниям, что и раньше, θ/ t= 2π/ T, а значит, мгновенное значение скорости колеблющегося тела

Обратим внимание на то, что в формуле для определения величины смещения отсчет времени ведется от среднего положения, а в формуле скорости – от крайнего положения. Смещение маятника равно нулю при среднем положении грузика, а скорость колебания – при крайнем положении.

Между амплитудой скорости колебания v ₀(иногда говорят – амплитудным значением скорости) и амплитудой смещения имеется простая связь: окружность длиной 2π aгрузик описывает за время, равное периоду колебания T.

Таким образом, v ₀= 2π a/ Tи v= (2π a/ T)sin(2π/ T) t.

При всяком колебании около положения равновесия на тело действует сила, «желающая» возвратить тело в положение равновесия. Когда точка удаляется от положения равновесия, сила замедляет движение, когда точка приближается к этому положению, сила ускоряет движение.

Проследим за этой силой на примере маятника. Грузик маятника находится под действием силы тяжести и силы натяжения нити. Разложим силу тяжести на две составляющие – одну, направленную вдоль нити, и другую, идущую перпендикулярно к ней по касательной к траектории. Для движения существенна лишь касательная составляющая силы тяжести. Она-то и есть в этом случае возвращающая сила. Что касается силы, направленной вдоль нити, то она уравновешивается противодействием со стороны гвоздика, на котором висит маятник, и принимать ее в расчет надо лишь тогда, когда нас интересует вопрос, выдержит ли нить тяжесть колеблющегося тела.

Обозначим через xвеличину смещения грузика. Перемещение происходит по дуге, но мы ведь условились изучать колебания вблизи положения равновесия. Поэтому мы не делаем различия между величиной смещения по дуге и отклонением груза от вертикали. Рассмотрим два подобных треугольника (рис. 45). Отношение соответствующих катетов равно отношению гипотенуз, т.е.

Величина mg/ lво время колебания не меняется. Эту постоянную величину мы обозначим буквой k, тогда возвращающая сила равна F= kx. Мы приходим к следующему важному выводу: величина возвращающей силы прямо пропорциональна величине смещения колеблющейся точки от положения равновесия. Возвращающая сила максимальна в крайних положениях колеблющегося тела. Когда тело проходит среднюю точку, сила обращается в нуль и меняет свой знак или, иными словами, свое направление. Пока тело смещено вправо, сила направлена влево, и наоборот. Маятник служит простейшим примером колеблющегося тела. Однако мы заинтересованы в том, чтобы формулы и законы, которые мы находим, можно было бы распространить на любые колебания.