Кинематические Э. у. дают выражения w_х , w_у , w_z через Эйлеровы углы j, y, q и имеют вид

w_x =

sin q sinj + cosj,

w_у =

sin q cosj — sinj, (2)

w_z =

 + cos q.

  Система уравнений (1) и (2) позволяет, зная закон движения тела, определить момент действующих на него сил, и, наоборот, зная действующие на тело силы, определить закон его движения.

  2) В гидромеханике — дифференциальные уравнения движения идеальной жидкости в переменных Эйлера. Если давление р , плотность r, проекции скоростей частиц жидкости u , u , w и проекции действующей объёмной силы X , У , Z рассматривать как функции координат x , у , z точек пространства и времени t (переменные Эйлера), то Э. у. в проекциях на прямоугольные декартовы оси координат будут:

,

,

.

Решение общей задачи гидромеханики в переменных Эйлера сводится к тому, чтобы, зная X , У , Z , а также начальные и граничные условия, определить u , u, w, р , r, как функции х , у , z и t. Для этого к Э. у. присоединяют уравнение неразрывности в переменных Эйлера

.

  В случае баротропной жидкости, у которой плотность зависит только от давления, 5-м уравнением будет уравнение состояния r = j (р ) (или r — const, когда жидкость несжимаема).

  Э. у. пользуются при решении разнообразных задач гидромеханики.

  Лит.: Бухгольц Н. Н., Основной курс теоретической механики, ч. 2, 9 изд., М., 1972, §14, 16; Лойцянский Л. Г., Механика жидкости и газа, 4 изд., М., 1973.

  С. М. Тарг.

Эйлера формулы

Э'йлера фо'рмулы в математике, важнейшие формулы, установленные Л. Эйлером .

  1) Э. ф., связывающие тригонометрические функции с показательной (1743):

e^ix = cos х + i sin х ,

,

.

  2) Э. ф., дающая разложение функции sin х в бесконечное произведение (1740):

.

  3) Тождество Эйлера о простых числах:

,

  где s = 1, 2,..., и произведение берётся по всем простым числам р.

  4) Тождество Эйлера о четырёх квадратах:

(a² +b²+ c² + d² )(p² + q² + r² + s² = x²+y²+z²+t² , где

,

,

,

.

  5) формула Эйлера о кривизнах (1760):

.

  Она даёт выражение кривизны 1/R любого нормального сечения поверхности через её главные кривизны 1/R₁ и 1/R₂ и угол j между одним из главных направлений и данным направлением.

  Эйлеру принадлежит также Эйлера—Маклорена формула суммирования, Эйлера—Фурье формулы для коэффициентов разложений функций в тригонометрические ряды .

  Лит. см. при ст. Эйлер .

Эйлера функция

Э'йлера фу'нкция, число j(а ) натуральных чисел, меньших, чем а , и взаимно простых с а :

,

где p₁ ,... , p_k — простые делители числа а. Введена Л. Эйлером в 1760—61. Если числа а и b взаимно просты, тоj(ab ) = j(а ) j(b ). При т> 1 и наибольшем общем делителе (а , m ) = 1, а , m — взаимно просты, имеет место сравнение a^{j(m )}= 1 (mod m ) (теорема Эйлера). Э. ф. встречаются во многих вопросах чисел теории .

Эйлера числа

Э'йлера чи'сла в математике, целые числа Е_п , являющиеся коэффициентами при tⁿ /n !, в разложении функции 1/ cht (см. Гиперболические функции ) в степенной ряд:

  Введены Л. Эйлером в 1755. Э. ч. связаны рекуррентным соотношением (Е +1) ⁿ +(E ¾1) ⁿ = 0, n = 1, 2, 3,..., E₀ = 1 (после возведения в степень надо вместо E^k подставить E_k ) и с Бернулли числами— соотношениями

,

 и .

  Встречаются в различных формулах математического анализа.

Эйлера число

Э'йлера число', один из подобия критериев движения жидкостей или газов. Характеризует соотношение между силами давления, действующими на элементарный объём жидкости или газа, и инерционными силами. Э. ч. Eu определяют формулой

(иногда 2p/ ru² ), где p₂ , p₁ — давления в двух характерных точках потока (или движущегося в нём тела), ru² /2— скоростной напор, r — плотность жидкости или газа, u — скорость течения (или скорость тела). В случае течений жидкости с кавитацией аналогичный критерий называется числом кавитации

,

где p — характерное давление, р_н— давление насыщенных паров жидкости. В сжимаемых газовых потоках Э. ч. в форме Eu = 2p/ ru² связано с другими критериями подобия — Маха числом М и отношением удельных теплоёмкостей среды g — формулой Eu = 2/ gM² , где g = c_p /c_v (c_p— удельная теплоёмкость при постоянном давлении, c_v — то же при постоянном объёме). Названо по имени Л. Эйлера .