Лит.: Гершун А. А., Мера множества лучей, «Труды Государственного оптического института», 1941, т. 14, в. 112–20; Terrien J., Desvignes F., La photometrie, P., 1972.

  А. А. Волькенштейн.

Факторгру'ппа (математическая), группа , элементами которой являются некоторые совокупности элементов другой группы G, а именно: классы смежности G по нормальному делителю Н.

Факториа'л (англ. factorial, от factor-comножитель) (математический), произведение натуральных чисел от единицы до какого-либо данного натурального числа n, то есть 1×2×... ×n', обозначается n !. При больших n приближённое выражение Ф. даётся Стирлинга формулой . Ф. равен числу перестановок из n элементов.

Фа'кторный ана'лиз, раздел статистического анализа многомерного ,. объединяющий методы оценки размерности множества наблюдаемых переменных посредством исследования структуры ковариационных или корреляционных матриц. Основное предположение Ф. а. заключается в том, что корреляционные связи между большим числом наблюдаемых переменных определяются существованием меньшего числа гипотетических ненаблюдаемых переменных или факторов. В терминах случайных величин – результатов наблюдений X₁ ,..., X_n общей моделью Ф. а. служит следующая линейная модель:

  где случайные величины f_j суть общие факторы, случайные величины U_i суть факторы, специфические для величин X_i и не коррелированные с f_j , а e_i ; суть случайные ошибки. Предполагается, что k < n задано, случайные величины e_i независимы между собой и с величинами f_j и U_i и имеют Е e_i = 0, D e_i = s²_i . Постоянные коэффициенты a_ij называются факторными нагрузками (нагрузка i -й переменной на j -й фактор). Значения a_ij , b_i , и s²_i считаются неизвестными параметрами, подлежащими оценке. В указанной форме модель Ф. а. отличается некоторой неопределённостью, т.к. n переменных выражаются здесь через n + k других переменных. Однако уравнения (*) заключают в себе гипотезу о ковариационной матрице, которую можно проверить. Например, если факторы f_j некоррелированы и c_ij – элементы матрицы ковариаций между величинами X_i , то из уравнений (*) следует выражение для c_ij через факторные нагрузки и дисперсии ошибок:

  Т. о., общая модель Ф. а. равносильна гипотезе о ковариационной матрице, а именно о том, что ковариационная матрица представляется в виде суммы матрицы А = {a_ij } и диагональной матрицы L с 2 элементами s²_i .

  Процедура оценивания в Ф. а. состоит из двух этапов: оценки факторной структуры – числа факторов, необходимого для объяснения корреляционной связи между величинами X_i , и факторной нагрузки, а затем оценки самих факторов по результатам наблюдения. Принципиальные трудности при интерпретации набора факторов состоят в том, что при k > 1 ни факторные нагрузки, ни сами факторы не определяются однозначно, т.к. в уравнении (*) факторы f_j могут быть заменены любым ортогональным преобразованием. Это свойство модели используется в целях преобразования (вращения) факторов, которое выбирается так, чтобы наблюдаемые величины имели бы максимально возможные нагрузки на один фактор и минимальные нагрузки на остальные факторы. Существуют различные практические способы оценки факторных нагрузок, имеющие смысл в предположении, что X_i ,..., Xn подчиняются многомерному нормальному распределению с ковариационной матрицей С = {с_ij }. Выделяется максимального правдоподобия метод , который приводит к единственным оценкам для c_ij , но для оценок a_ij даёт уравнения, которым удовлетворяет бесчисленное множество решений, одинаково хороших по статистическим свойствам.

  Ф. а. возник и первоначально разрабатывался в задачах психологии (1904). Область его приложения значительно шире – Ф. а. находит применение при решении различных практических задач в медицине, экономике, химии и т.д. Однако многие результаты и методы Ф. а. пока ещё не обоснованы, хотя практики ими широко пользуются. Математическое строгое описание современного Ф. а. – задача весьма трудная и до сих пор в полной мере не решенная.

  Лит.: Лоул и Д., Максвелл А., Факторный анализ как статистический метод, пер. с англ., М., 1967; Харман Г., Современный факторный анализ, пер. с англ., М., 1972.

  А. В. Прохоров.

Фа'кторов тео'рия, термин, традиционно используемый для обозначения социологических концепций, пытающихся объяснить изменение состояний общества воздействием какого-либо явления, признаваемого единственным фактором, определяющим эти изменения.

  В истории социальной мысли известно несколько попыток такого объяснения механизма развития общества. К их числу относятся географические, демографические, психологические, в конце 19 в. – технологические и и др. виды детерминизма . Однако всякий раз эти попытки приводили к ситуации (которую Г. В. Плеханов назвал заколдованным кругом взаимодействия), вызываемой тем, что явление, используемое в качестве фактора, прежде чем стать. причиной, было следствием (см. «К вопросу о развитии монистического взгляда на историю», гл. 2). В конце 19 – начале 20 вв. ряд буржуазных социологов (М. Вебер , М. М. Ковалевский ), неправомерно изображая марксизм как однофакторную теорию – экономический детерминизм, противопоставлял ему т. н. концепцию множества факторов, согласно которой развитие общества определяется одновременным воздействием экономических, демографических, религиозных, психологических и др. факторов. Подобная позиция приводит к эклектике, механическому соединению различных факторов.

  К. Маркс, Ф. Энгельс и В. И. Ленин отвергли попытки вульгаризации марксизма, изображения его как экономического детерминизма. Марксизм рассматривает общество как развивающуюся систему, изображает «... весь процесс в целом (а потому также и взаимодействие между его различными сторонами)» (Маркс К. и Энгельс Ф., Соч., 2 изд., т. 3, с. 37), выделяя при этом в качестве определяющего способ производства . См. также Исторический материализм . Формация общественно-экономическая .

Факту'ра (от лат. factura – обработка, строение) в изобразительных искусствах, характер поверхности художественного произведения, её обработки. В живописи Ф. – характер красочного слоя: например, «открытая» Ф. (широкий мазок, неровный слой краски) или «скрытая» гладкая Ф.; в скульптуре и декоративно-прикладном искусстве – полированная, шероховатая и т.д. поверхность статуи, рельефа, произведения художественного ремесла. Эффекты Ф., являющиеся одним из признаков, наиболее непосредственно выявляющих личный творческий почерк того или иного мастера, служат задаче всестороннего раскрытия содержания. Однако распространённые в модернистском искусстве 20 в. эксперименты по усложнению Ф. (коллаж , введение в красочный слой опилок, песка и т.д.) нередко способствуют разрушению изобразительного начала.