Обе теоремы установлены С. Д. Пуассоном в 1837.

Пуассона уравнение

Пуассо'на уравне'ние, уравнение с частными производными вида Du = f, где D —оператор Лапласа:

  При n = 3 этому уравнению удовлетворяет потенциал u (х, у, z) объёмных масс, распределённых с плотностью f (x, у,z)/4p (в областях, где f = 0 потенциал u удовлетворяет уравнению Лапласа), а также потенциал объёмно распределённых электрических зарядов. При этом плотность распределения f должна удовлетворять известным требованиям гладкости (например, условию непрерывности частных производных). Если функция f отлична от нуля лишь в конечной области G, ограничена и имеет непрерывные частные производные первого порядка, то при n = 2 частное решение П. у. имеет вид:

а при n = 3:

где r (А, Р) — расстояние между переменной точкой интегрирования А и некоторой точкой Р. В более подробной записи

V (х, у, z) =

Решение краевых задач для П. у. сводится подстановкой

к решению краевых задач для уравнения Лапласа Dw = 0.

  П. у. впервые (1812) было изучено С. Д. Пуассоном.

Пуассона формула суммирования

Пуассо'на фо'рмула сумми'рования, формула для вычисления суммы ряда вида

Если

— Фурье преобразование (несколько иначе, чем обычно, нормированное) функции F (x), то

(m и n — целые). Это и есть П. ф. с.; она может быть записана в более общем виде: если l > 0, m > 0, lm = 1 и 0 £ t < 1, то

  Для справедливости этой формулы достаточно, чтобы в каждом конечном интервале F (x) имела ограниченную вариацию, и для х ® + ¥ и х ® — ¥ выполнялось одно из условий: 1) F (x) — монотонна и абсолютно интегрируема; 2) F (x) — интегрируема и обладает абсолютно интегрируемой производной. П. ф. с. позволяет в ряде случаев заменить вычисление суммы ряда вычислением суммы др. ряда, сходящегося быстрее первоначального.

Пуассоновский поток

Пуассо'новский пото'к, то же, что пуассоновский процесс. Этот термин используют, как правило, в массового обслуживания теории.

Пуассоновский процесс

Пуассо'новский проце'сс, случайный процесс, описывающий моменты наступления 0 < t₁ <...< t_n <...<... каких-либо случайных событий, в котором число событий, происходящих в течение любого фиксированного интервала времени, имеет Пуассона распределение и независимы числа событий, происходящих в непересекающиеся промежутки времени.

  Пусть m(s, t) — число событий, моменты наступления которых t_i удовлетворяют неравенствам 0 £ s < t_i £ t, и пусть l(s, t) — математическое ожидание m(s, t). Тогда и П. п. при любых 0 £ s₁ < t₁ £ s₂ < t₂ £... £ s_r < t_r случайные величины m(s₁, t₁), m(s₂, t₂),... m(s_r, t_r) независимы и вероятность того, что m(s, t) = n, равна

e^{-l (s, t)} [l(s, t)] ⁿ /n!.

  В однородном П. п. l(s, t) = a (t — s), где а — среднее число событий в единицу времени, расстояния t_n — t_n-1 между соседними моментами t_n независимы и имеют показательное распределение с плотностью ae^-at, t ³ 0.

  Если имеется много независимых процессов, описывающих моменты возникновения некоторых случайных редких событий, то суммарный процесс при определённых условиях в пределе даёт П. п.

  П. п. представляет собой удобную математическую модель, которая часто используется в различных приложениях теории вероятностей. В частности, с помощью П. п. описывается поток требований (например, вызовов, поступающих на телефонную станцию, выездов медицинских машин скорой помощи при транспортных происшествиях в большом городе) в массового обслуживания теории.

  Обобщением П. п. является пуассоновское случайное распределение точек на плоскости или в пространстве, при котором число точек в любой фиксированной области имеет распределение Пуассона (со средним, пропорциональным площади или объёму области) и числа точек в непересекающихся областях независимы. Это распределение часто используется при расчётах в астрономии, физике, экологии, технике и т.д.

  Лит.: Феллер В., Введение в теорию вероятностей и ее приложения, пер. с англ., т. 1—2, М., 1967.

  Б. А. Севастьянов.

Пуату

Пуату' (Poitou), историческая область на З. Франции, у побережья Атлантического океана. На территории П. — департаменты Вандея, Вьенна, Дё-Севр. П. (без Вандеи) вместе с историческими областями Они, Сентонж и Ангумуа (территория современных департаментов Шаранта и Приморская Шаранта) составляют плановый экономический район Пуату — Шаранта. Площадь П. 20,1 тыс. км². Население 1,1 млн. чел. (1973). Главный город — Пуатье. Территория области — большей частью всхолмлённая равнина; типичен бокаж. Главная отрасль экономики — сельское хозяйство, особенно животноводство (крупный рогатый скот, свиньи) и птицеводство. Основные с.-х. культуры: пшеница, ячмень, кормовые; овощеводство. Промышленность занята главным образом переработкой с.-х. сырья. В гг. Шательро и Пуатье — машиностроение. В районе Мортань — добыча урановой руды (обогащение — на заводе в Экарпьер).

  Название П. связано с наименованием племени пиктонов, в древности населявших эту территорию. Территория П. входила в Аквитанию. С 9 в. П. — графство. С конца 9 в. графы П. стали герцогами Аквитании; в её составе П. в 1154 стало владением английских королей. В правление Филиппа II Августа (1180—1223) и Людовика VIII (1223—26) территория П. по частям была возвращена Франции и закреплена за ней Парижским договором 1259. В Столетнюю войну 1337—1453 по миру в Бретиньи 1360 П. вновь отошло к Англии, отвоёвано Францией в 1369—73. Во время Великой французской революции П. — один из основных районов, где развернулись Вандейские войны. С введением нового административного деления Франции (1790) провинция П. перестала существовать.

Пуатье

Пуатье' (Poitiers), город на З. Франции, на р. Клен (бассейн Луары), у прохода между Центральным Французским массивом и возвышенностью Гатин. Административный центр департамента Вьенна. 75 тыс. жителей (1968). Машиностроение, пищевая, химическая, кожевенная промышленность. Университет. П. — один из древнейших городов страны, основан галлами.