где Q (x) — многочлен степени п, имеющий кратные корни, а Р (х) — многочлен степени m  £ n — 1.

  О. м. позволяет алгебраическим путём представить такой интеграл в виде суммы двух слагаемых, из которых первое является рациональной функцией переменного х, а второе рациональной части не содержит. Имеет место равенство

 (1)

где Q₁, Q₂, P₁, P₂ — многочлены степеней соответственно n₁, n₂, m₁, m₂, причём n₁ + n₂= n, m₁ £ n₁ — 1, m₂ £ n₂ — 1 и многочлен Q₂(x) не имеет кратных корней. Многочлен Q₁(x) является наибольшим общим делителем многочленов Q (x) и

, и, следовательно, явное выражение Q₁(x) можно найти, например, с помощью Евклида алгоритма. Дифференцируя правую и левую части (1), получим тождество

. (2)

  Тождество (2) позволяет найти явное выражение многочленов P₁(x) и P₂(x) неопределённых коэффициентов методом.

  О. м. был впервые предложен в 1844 М. В. Остроградским.

  Лит.: Фихтенгольц Г. М., Курс дифференциального и интегрального исчисления, 7 изд., т. 2, М., 1969.

Остроградского формула

Острогра'дского фо'рмула, формула, дающая преобразование интеграла, взятого по объёму Q, ограниченному поверхностью S, в интеграл, взятый по этой поверхности:

;

здесь X, Y, Z — функции точки (х, у, z), принадлежащей трёхмерной области W. О. ф. найдена М. В. Остроградским в 1828 (опубликована в 1831). В векторной форме О. ф. имеет вид:

,

где р — вектор поля, заданного в области W; dt — элемент объёма; n — единичный вектор внешней нормали к поверхности S; ds — элемент этой поверхности. В гидродинамическом истолковании О. ф. устанавливает равносильность двух способов учёта того количества жидкости, которое вытекает из оболочки S в единицу времени: 1) исходя из «производительности» точечных источников, заполняющих область W (левая часть равенства); 2) исходя из скоростей частиц жидкости в момент их прохождения через оболочку S (правая часть равенства). Формула была дана Остроградским (1834, опубликована в 1838) также и в более общем виде — для интеграла, распространённого на n-мерную область.

Острое

О'строе, посёлок городского типа в Донецкой области УССР, подчинён Селидовскому горсовету. Ж.-д. станция (Острая) на линии Донецк — Красноармейское. Добыча угля.

Острое ударение

Острое ударе'ние, акут, акутовое ударение, один из видов музыкального, или политонического ударения, при котором ударный гласный или ударный слог в целом произносятся с постепенным повышением частоты основного тона голоса. О. у. было в древних славянских языках, где оно противопоставлялось тупому ударению (гравису). В древне-греческом языке О. у. противопоставлялось как одновершинное двухвершинному, т. н. облечённому ударению, или циркумфлексу (см. Циркумфлексное ударение).

Острожские

Остро'жские, княжеский род украинских магнатов 14—17 вв. в Великом княжестве Литовском и Речи Посполитой. Происходили из пинских удельных князей. Владели огромными поместьями на Волыни, Киевщине, в Подолии и Галичине. В 16 в. О. принадлежало 24 города, 10 местечек и более 100 сёл и деревень. Первым достоверно известным представителем рода О. был князь Даниил (середина 14 в.). Сын Даниила — Фёдор в 1386 получил от великих литовских князей Ягайло подтверждение прав на владение городами Острогом (отсюда и фамилия О.), Корецом и Заславом. Активно участвовал в борьбе за престол между Витовтом и Свидригайло. В результате успешных походов в 1-й половине 15 в. завоевал у поляков Подолию и Волынь. Один из потомков Фёдора — Константин О. (родился около 1460 — умер 1530) — брацлавский староста, великий гетман Литовский. Возглавлял ряд удачных походов против татар. В 1514 разбил войско Василия III Ивановича в битве при Орше. Энергично защищал интересы православной церкви на территории Великого княжества Литовского. Сын Константина О. киевский воевода Константин (1526—1608) подавлял крестьянско-казацкие восстания под руководством К. Косинского и С. Наливайко. Продолжал политику своего отца, защищал русское, украинское и белорусское население от гнёта католической церкви. По его инициативе в Остроге возник кружок литераторов и публицистов, боровшихся против униатской церкви. Он основал школы в Турове (1572), Владимире-Волынском (1577), Остроге (конец 70-х гг. 16 в.). Из острожской школы, просуществовавшей до 40-х гг. 17 в., первым ректором которой был Г. Смотрицкий, вышли известный деятель просвещения 17 в. М. Смотрицкий, гетман П. Сагайдачный и др. На деньги Константина О. в Остроге в конце 70-х гг. 16 в. Иваном Фёдоровым была основана типография, сыгравшая важную роль в борьбе против католицизма и в просвещении русского, украинского и белорусского населения. Со смертью внучки Константина О. — Анны (начало 17 в.) род О. пресекся.

  В. Н. Балязин.

Остролодочник

Остроло'дочник (Oxytropis), род растений семейства бобовых. Многолетние, часто бесстебельные травы, полукустарнички и колючие, обычно подушковидные кустарнички с очередными непарно-перистосложными листьями. Цветки жёлтые, розовые, белые в пазушных кистевидных соцветиях. Чашечка трубчатая, с почти равными зубцами; лодочка на верхушке с остриём (отсюда название). Плод — боб. Около 400 видов, обитают в холодном, умеренном и частично субтропическом поясе Северного полушария, главным образом в горах Средней, Передней и Центральной Азии. В СССР свыше 300 видов; растут большей частью по горным лугам и степям, каменистым склонам, в арктических и горных тундрах. В высокогорных районах и тундре О. служит кормом для скота. О. бледно-жёлтый (О. ochroleuca), О. серножёлтый (О. sulphurea) и некоторые др. разводят как декоративные.

Остромир

Остроми'р (христианское имя Иосиф), новгородский воевода и посадник в 1054—57, заказчик древнейшего из дошедших до нас Евангелия, т. н. Остромирова евангелия. Был сватом великого киевского князя Изяслава Ярославича. О. в 1056 ходил походом на чудь и взял один из чудских городов. Сыном О. был воевода Вышата, а внуком — Ян Вышатич, принимавший активное участие в политической жизни Руси и в создании «Повести временных лет».

  Лит.: Остромирово евангелие, СПБ, 1883; Янин В. Л., Новгородские посадники, М., 1962.

Остромирово евангелие

Остроми'рово ева'нгелие, древнейший датированный памятник старославянской письменности русской редакции (1056—57); назван по имени новгородского воеводы и посадника Остромира, для которого был переписан на Руси дьяконом Григорием с болгарского оригинала. Хранится в Публичной библиотеке им. М. Е. Салтыкова-Щедрина в Ленинграде. Пергаментная рукопись (30 x 35 см) с высокохудожественными миниатюрами, искусно орнаментированная, написана кириллицей. В языке О. е. отражены черты болгарских протографов и русского языка 11 в. О. е. — ценнейший источник по истории южно-славянских и восточно-славянских языков, древне-славянской палеографии, русского искусства. Образец искусства книги Киевской Руси. Содержит недельные евангельские чтения (т. н. краткий апракос). Впервые опубликован А. X. Востоковым (СПБ, 1843; фототипически переиздано в 1964 в серии «Monumenta linguae slavicae», t. 1, Wiesbaden) и затем И. К. Савинковым (фотолитографическое издание, 1883 и 1889).