Поскольку в таблице сведены все мыслимые двуместные Л. о., соответствующие всевозможным «четырехбуквенным словам» из «и» и «л», записанным по вертикали в её столбцах, то естественно, что среди этих 17 Л. о. есть и «вырожденные» случаи: первые две «связки» вообще не зависят ни от каких «аргументов» — это константы «и» и «л» (понятно, что таких «нульместных» связок имеется ровно

), далее идут  «одноместных связок» (каждая из которых зависит лишь от одного из аргументов р или q) и только затем уже 16—2—4 = 10 собственно двуместных Л. о. Можно далее рассматривать  трёхместных Л. о. и т. д.; оказывается, однако, что уже небольшой части приведённых Л. о. достаточно для того, чтобы посредством их суперпозиций (т. е. последовательного применения) выразить любые n-местные Л. о. для любого натурального n. Такими функционально полными наборами связок являются, например, ù и &, ù и , ù и É и даже одна-единственная связка ½. Поскольку логика высказываний может быть изоморфно (см. Изоморфизм) интерпретирована в терминах логики классов, для каждой Л. о. имеется аналогичная теоретико-множественная операция; совокупность таких операций над множествами (классами) образует т. н. алгебру множеств. См. Алгебра логики.

  Лит.: Чёрч А., Введение в математическую логику, пер. с англ., т. 1, М., 1960, §§ 05, 06 и 15.

  Ю. А. Гастев.

Логический закон

Логи'ческий зако'н, общее название законов, образующих основу логической дедукции. Понятие о Л. з. восходит к древнегреческому понятию о lógos'e как предпосылке объективной («природной») правильности рассуждений. Собственно логическое содержание оно впервые получает у Аристотеля, положившего начало систематическому описанию и каталогизации таких схем логических связей произвольных элементарных высказываний в сложные высказывания, убедительность (общезначимость) которых вытекает из одной только их формы, а точнее — из одного только правильного понимания смысла логических связей, безотносительно к истинностному значению элементарных высказываний. Большинство Л. з., открытых Аристотелем, это — законы силлогизма. Позже были открыты и другие законы и даже установлено, что множество Л. з. бесконечно. В некотором смысле обозреть это бесконечное множество Л. з. стало возможным благодаря различного типа формальным теориям логического рассуждения — т. н. логическим формализмам, или логическим исчислениям, в которых Л. з. выражаются определённого вида формулами и определяются — каждый по отношению к «своему» исчислению — выводимыми формулами данного вида (т. н. «общезначимыми формулами», или теоремами исчислений, см. Логика). Существующее многообразие логических исчислений естественно порождает идею относительности Л. з. Однако типом логического исчисления полагаются одновременно и границы этой относительности, поскольку тип исчисления не является исключительно делом произвольного выбора, а диктуется (или подсказывается) «логикой вещей», о которых хотят рассуждать, а также, в известном смысле, субъективной уверенностью в том или ином характере этой логики. Все исчисления, основанные на одной и той же гипотезе о характере «логики вещей», являются эквивалентными в том смысле, что они описывают («порождают») одни и те же Л. з. К примеру, исчисления, основанные на двузначности принципе, т. н. исчисления классической логики, несмотря на всё их «внешнее» разнообразие, описывают один и тот же «мир» классический Л. з. — тождественных истин, которые издавна получили общепринятую онтологическую философскую характеристику «вечных истин», или «истин во всех возможных мирах». Л. з. интуиционистской логикиникакой общепринятой онтологической интерпретации пока не получили. «Логикой вещей», отражением которой они исторически явились, была логика умственных математических построений — логика «знания», а не логика «бытия».

  Изучение Л. з. образует естественный исходный пункт логического анализа приемлемых («хороших») способов рассуждений (умозаключений), поскольку само понятие «приемлемое, или логически правильное, рассуждение» уточняется через понятие «Л. з.». Связь логически правильных рассуждений с Л. з. выражается в логике т. н. теоремой о дедукции, фиксирующей ту, замеченную ещё стоиками, особую роль, которую Л. з. играют при обосновании или проверке наших умозаключений: относительно любого утверждения о выводимости заключения В из посылок А₁, А₂, ..., A_n вопрос о его истинности решается разысканием среди Л. з. высказывания A₁É(A₂É)(... É(AnÉB)..)), где É выражает логический союз «если..., то...». Указанная связь Л. з. с умозаключениями имеет общенаучное значение и выходит далеко за пределы собственно логики, обеспечивая общий метод формального доказательства средствами логики (см. Аксиоматический метод).

  М. М. Новосёлов.

  Термин «Л. з.» применялся в традиционной логике по отношению к т. н. «законам мышления»: закону тождества («всякая сущность совпадает сама с собой»), закону противоречия («никакое суждение не может одновременно быть истинным и ложным»), закону исключённого третьего («для произвольного высказывания либо оно само, либо его отрицание истинно») и закону достаточного основания («всякое принимаемое суждение должно быть надлежащим образом обосновано»). Первый из перечисленных принципов (термин «закон» здесь вообще представляется неуместным) есть важная предпосылка рассуждений, относящаяся, однако, не к логике, а к онтологии и к теории познанияи к тому же применимая всякий раз в точно оговорённых пределах; последний принцип также не относится к логике, а имеет отчётливо выраженный методологический характер. Исключённого третьего принцип действительно принадлежит логике, но не во всякой логической системе соответствующая формула (А

ù А) общезначима (см. Математический интуиционизм, Конструктивное направление в математике и логике). И лишь принцип противоречия (в современной логической символике: ù (А&ù А) представляет собой утверждение, не только доказуемое в любой логической системе, но и лежащее в некотором смысле в основе всей современной формальной логики.

  Ю. А. Гастев.

  Лит. см. при ст. Логика.

Логический позитивизм

Логи'ческий позитиви'зм, направление неопозитивизма, возникшее в 1920-х гг. на основе Венского кружка. Оно попыталось сочетать эмпиризм, основанный на принципе верификации, с методом логического анализа научного знания с целью сведения последнего к «непосредственно данному», т. е. к эмпирически проверяемому содержанию научных понятий и утверждений. Со 2-й половины 1930-х гг., после переезда в США основных представителей Л. п. (Р. Карнап, Г. Фейгль, К. Гемпель, Ф. Франк), он стал известен под названием логического эмпиризма. К этому времени Л. п. отказался от ряда своих исходных гносеологических догм, сформулированных в Венском кружке и обнаруживших свою несостоятельность при попытках осуществления программы логического анализа науки, в частности от принципа сводимости научного знания к эмпирически данному. В 1950-х гг. Л. п. утратил своё положение ведущего направления философии науки, а в 1960-е гг., по существу, перестал существовать как самостоятельное философское течение. Однако, несмотря на критику, которой подвергаются исходные установки Л. п., его воззрения продолжают оказывать определённое воздействие на многих представителей науки. См. также Аналитическая философия.