.     (17)

  Первый член (пропорциональный волне де Бройля, распространяющейся вдоль оси z) описывает падающие частицы, а второй (пропорциональный «радиальной волне де Бройля») — рассеянные. Функция f (J, j) называется амплитудой рассеяния; она определяет так называемое дифференциальное сечение рассеяния ds, характеризующее вероятность рассеяния под данными углами:

ds = |f (J, j)|²dW,      (18)

где dW — элемент телесного угла, в который происходит рассеяние.

  Дискретный спектр энергии возникает, как и при одномерном движении, когда частица оказывается внутри потенциальной ямы. Энергетические уровни нумеруют квантовыми числами, причём, в отличие от одномерного движения, не одним, а тремя. Наибольшее значение имеет задача о движении в поле центральных сил притяжения. В этом случае также удобно пользоваться сферическими координатами.

  Момент количества движения. Угловая часть движения (вращение) определяется в К. м., как и в классической механике, заданием момента количества движения, который при движении в поле центральных сил сохраняется. Но, в отличие от классической механики, в К. м. момент имеет дискретный спектр, т. е. может принимать только вполне определённые значения. Это можно показать на примере азимутального движения — вращения вокруг заданной оси (примем её за ось z). Волновая функция в этом случае имеет вид «угловой волны де Бройля» e^imj, где j — азимут, а число m также связано с моментом M_z, как в плоской волне де Бройля волновое число k с импульсом р, т. е. m = M_z/h. Т. к. углы j и j + 2p описывают одно и то же положение, то и волновая функция при изменении j на 2p должна возвращаться к прежнему значению. Отсюда вытекает, что m может принимать только целочисленные значения: m = 0, ± 1, ± 2,..., т. е. момент может быть равен

M_z= mh = 0, ± h, ± 2h,...     (19)

  Вращение вокруг оси z есть только часть углового движения (это проекция движения на плоскость ху), а M_z — не полный момент, а только его проекция на ось z. Чтобы узнать полный момент, надо определить две остальные его проекции. Но в К. м. нельзя одновременно точно задать все три составляющие момента. Действительно, проекция момента содержит произведение проекции импульса на соответствующее плечо (координату, перпендикулярную импульсу), а все проекции импульса и все плечи, согласно соотношениям неопределённостей (13), одновременно не могут иметь точные значения. Оказывается, что, кроме проекции M_z момента количества движения на ось z (задаваемой числом m), можно одновременно точно задать величину момента М, определяемую целым числом l:

M² = h²l (l + 1), l = 0, 1, 2,...     (20)

  Т. о., угловое движение даёт два квантовых числа — l и m. Число l называют орбитальным квантовым числом, от него может зависеть значение энергии частицы (как в классической механике от вытянутости орбиты). Число m называют магнитным квантовым числом и при данном l может принимать значения m = 0, ± 1, ± 2,..., ± l — всего 2l + 1 значений; от m энергия не зависит, т.к. само значение m зависит от выбора оси z, а поле имеет сферическую симметрию. Поэтому уровень с квантовым числом l имеет (2l + 1)-кратное вырождение. Энергия уровня начинает зависеть от m лишь тогда, когда сферическая симметрия нарушается, например при помещении системы в магнитное поле (Зеемана эффект).

  При заданном моменте радиальное движение похоже на одномерное движение с тем отличием, что вращение вызывает центробежные силы. Их учитывают введением (кроме обычного потенциала) центробежного потенциала, который имеет вид М²/2mr², как и в классической механике (здесь m — масса частицы), При этом квадрат момента M² следует заменять на величину h²l (l + 1). Решение уравнения Шрёдингера для радиальной части волновой функции атома определяет его уровни энергии и вводит третье квантовое число — радиальное n_r или главное n, которые связаны соотношением n = n_r + l + 1, n_r = 0, 1, 2,..., n = 1, 2, 3,... В частности, для движения электрона в кулоновском поле ядра с зарядом Ze (водородоподобный атом) уровни энергии определяются формулой

E_n =

,     (21)

т. е. энергия зависит только от главного квантового числа n. Для многоэлектронных атомов в которых каждый электрон движется не только в поле ядра, но и в поле остальных электронов, уровни энергии зависят также и от l.

  На рис. 3 в статье Атом приведены радиальные и угловые распределения электронной плотности (т. е. плотности вероятности или плотности заряда) вокруг ядра. Видно, что задание момента (т. е. чисел l и m) полностью определяет угловое распределение. В частности, при l = 0 (M² = 0) распределение электродной плотности сферически симметрично. Т. о., квантовое движение при малых l, совершенно непохоже на классическое. Так, сферически симметричное состояние со средним значением радиуса r ¹ 0 в некоторой степени, отвечает как бы классическому движению по круговой орбите (или по совокупности круговых орбит, наклоненных под разными углами), т. е. движению с ненулевым моментом (нулевой момент в классической механике соответствует нулевому плечу, а здесь плечо r ¹ 0). Это различие между квантовомеханическим и классическим движением является следствием соотношения неопределённостей и может быть истолковано на его основе. При больших квантовых числах (например, при l >> 1, n_r >> 1) длина волны де Бройля становится значительно меньше расстояний L, характерных для движения данной системы:

     (22)

  В этом случае квантовомеханические законы движения приближённо переходят в классические законы движения по определённым траекториям, подобно тому, как законы волновой оптики в аналогичных условиях переходят в законы геометрической оптики (описывающей распространение света с помощью лучей). Условие малости длины де-бройлевской волны (22) означает, что pL >> h, где pL по порядку величины равно классическому действию для системы. В этих условиях квант действия

 можно считать очень малой величиной, т. е. формально переход квантовомеханических законов в классические осуществляется при  ® 0. В этом пределе исчезают все специфические квантовомеханические явления, например обращается в нуль вероятность туннельного эффекта.

  Спин. В К. м. частица (как сложная, например ядро, так и элементарная, например электрон) может иметь собственный момент количества движения, называемый спином частицы. Это означает, что частице можно приписать квантовое число (s), аналогичное орбитальному квантовому числу l. Квадрат собственного момента количества движения имеет величину

²s (s + 1), а проекция момента на определённое направление может принимать 2s + 1 значений от —s до +

s  с интервалом . Т. о., состояние частицы (2s + 1) кратно вырождено. Поэтому волна де Бройля частицы со спином аналогична волне с поляризацией: при данной частоте и длине волны она имеет 2s + 1 поляризаций. Число таких поляризаций может быть произвольным целым числом, т. е. спиновое квантовое число s может быть как целым (0, 1, 2,...), так и полуцелым (¹/₂, ³/₂, ⁵/₂,...) числом. Спин электрона, протона и нейтрона равен ¹/₂ (в единицах ). Спин ядер, состоящих из чётного числа нуклонов (протонов и нейтронов), — целый или нулевой, а из нечётного — полуцелый. Отметим, что для фотона соотношение между числом поляризаций и спином (который равен 1) другое: фотон не имеет массы покоя, а (как показывает релятивистская К. м.) для таких частиц число поляризаций равно двум (а не 2s + 1 = 3).