Представления о пространстве и времени, которые используются в современной физической теории, наиболее последовательно формулируются в относительности теорииА. Эйнштейна и являются макроскопическими, т. е. они опираются на опыт изучения макроскопических объектов, больших расстояний и промежутков времени. При построении теории, описывающей явления микромира, — квантовой механики и квантовой теории поля, — эта классическая геометрическая картина, предполагающая непрерывность пространства и времени, была перенесена на новую область без каких-либо изменений. Экспериментальная проверка выводов квантовой теории пока прямо не указывает на существование границы, за которой перестают быть применимыми классические геометрические представления. Однако в самой теории элементарных частиц имеются трудности, которые наводят на мысль, что, возможно, геометрические представления, выработанные на основе макроскопического опыта, неверны для сверхмалых расстояний и промежутков времени, характерных для микромира, что представления о физическом пространстве и времени нуждаются в пересмотре.

  Эти трудности теории связаны с так называемой проблемой расходимостей: вычисления некоторых физических величин приводят к не имеющим физического смысла бесконечно большим значениям («расходимостям»). Расходимости появляются вследствие того, что в современной теории элементарные частицы рассматриваются как «точки», т. е. как материальные объекты без протяжённости. В простейшем виде это проявляется уже в классической теории электромагнитного поля (классической электродинамике), в которой возникает т. н. кулоновская расходимость — бесконечно большое значение для энергии кулоновского поля точечной заряженной частицы [из-за того, что на очень малых расстояниях r от частицы (г ® 0) поле неограниченно возрастает].

  В квантовой теории поля не только остаётся кулоновская расходимость, но и появляются новые расходимости (например, для электрического заряда), также в конечном счёте связанные с точечностью частиц. (Условие точечности частиц в квантовой теории поля выступает в виде требования т. н. локальности взаимодействий: взаимодействие между полями определяется описывающими поля величинами, взятыми в одной и той же точке пространства и в один и тот же момент времени.) Казалось бы, расходимости легко устранить, если считать частицы не точечными, а протяжёнными, «размазанными» по некоторому малому объему. Но здесь существенные ограничения налагает теория относительности. Согласно этой теории, скорость любого сигнала (т. е. скорость переноса энергии, скорость передачи взаимодействия) не может превышать скорости света с. Предположение о том, что взаимодействие может передаваться со сверхсветовыми скоростями, приводит к противоречию с привычными (подтвержденными всем общечеловеческим опытом) представлениями о временной последовательности событий, связанных причинно-следственными соотношениями: окажется, что следствие может предшествовать причине. Конечность же скорости распространения взаимодействия невозможно совместить с неделимостью частиц: в принципе некоторой малой части протяжённой частицы можно было бы очень быстро сообщить столь мощный импульс, что данная часть улетела бы раньше, чем сигнал об этом дошёл бы до оставшейся части.

  Т. о., требования теории относительности и причинности приводят к необходимости считать частицы точечными, Но представление о точечности частиц тесно связано с тем, какова геометрия, принимаемая в теории, в частности, основывается ли эта геометрия на предположении о принципиальной возможности сколь угодно точного измерения расстояний (длин) и промежутков времени. В обычной теории явно или чаще неявно такая возможность предполагается.

  Во всех вариантах изменения геометрии большая роль принадлежит так называемой фундаментальной длине l, которая вводится в теорию как новая (наряду

 с Планка постоянной h и скоростью света

с) универсальная постоянная. Введение фундаментальной длины l соответствует предположению, что измерение расстояний принципиально возможно лишь с ограниченной точностью порядка l (а времени — с точностью порядка l/c). Поэтому l называют также минимальной длиной. Если считать частицы неточечными, то их размеры выступают в роли некоторого минимального масштаба длины. Т. о., введение фундаментальной (минимальной) длины, в известном смысле, скрывает за собой неточечность частиц, что и даёт надежду на построение свободной от расходимостей теории.

  Одна из первых попыток введения фундаментальной длины была связана с переходом от непрерывных координат х, у, z и времени t к дискретным: х ® n₁l, y ® n₂l, z ® n₃l, t ® n₄l/c, где n₁, n₂, n₃, n₄ — целые числа, которые могут принимать значения от минус бесконечности до плюс бесконечности. Замена непрерывных координат дискретными несколько напоминает правила квантования Бора в первоначальной теории атома (см. Атом) — отсюда и термин«К. п.-в.».

  Если рассматривать большие расстояния и промежутки времени, то каждый «элементарный шаг» l или l/c можно считать бесконечно малым. Поэтому геометрия «больших масштабов» выглядит как обычная. Однако «в малом» эффект такого квантования становится существенным. В частности, введение минимальной длины l исключает существование волн с длиной l < l, т. е. как раз тех квантов бесконечно большой частоты n = с/l, а следовательно, и энергий e = hn, которые, как показывает квантовая теория поля, ответственны за появление расходимостей. Здесь наглядно проявляется то, как изменение геометрических представлений влечёт за собой важные физические следствия.

  Введение указанным способом «ячеистого» пространства (с «ячейками» размера l) связано с нарушением изотропии пространства — равноправия всех направлений. Это один из существенных недостатков данной теории.

  Подобно тому, как на смену боровской теории (в которой условия квантования постулировались) пришла квантовая механика (в которой квантование получалось как естественное следствие основных её положений), за первыми попытками К. п.-в. появились более совершенные варианты. Их общей чертой (и здесь выступает аналогия с квантовой механикой, в которой физическим величинам ставятся в соответстие операторы) является рассмотрение координат и времени как операторов, а не как обычных чисел. В квантовой механике формулируется важная общая теорема: если некоторые операторы не коммутируют между собой (т. е. в произведении таких операторов нельзя менять порядок сомножителей), то соответствующие этим операторам физические величины не могут быть одновременно точно определены. Таковы, например, операторы координаты

 и импульса  частицы (операторы принято обозначать теми же буквами, что и соответствующие им физические величины, но сверху со «шляпкой»). Некоммутативность этих операторов является математическим отражением того факта, что для координаты и импульса частицы имеет место неопределённостей соотношение:

,

показывающее границы точностей, с которыми могут быть одновременно определены p_x и х. Частица не может иметь одновременно точно определённые координату и импульс: чем точнее определена координата, тем менее определённым является импульс, и наоборот (с этим связано вероятностное описание состояния частицы в квантовой механике).

  При К. п.-в. некоммутирующими объявляются операторы, сопоставляемые координатам самих точек пространства и моментам времени. Некоммутативность операторов

 и

,

 и

 и т.д. означает, что точное значение, например, координаты х в заданный момент времени t не может быть определено, так же как не может быть задано точное значение нескольких координат одновременно. Это приводит к вероятностному описанию пространства-времени. Вид операторов подбирается так, чтобы средние значения координат могли принимать лишь целочисленные значения, кратные фундаментальной длине l. Масштаб погрешностей (или неопределённость) координат определяется фундаментальной длиной.