Г. о. является примером теории, позволившей при малом числе фундаментальных понятий и законов (представление о лучах света, законы отражения и преломления) получать много практически важных результатов. В теории оптических устройств она сохранила большое значение до настоящего времени. См. также Кардинальные точки, Линза, Эйконал.

  Лит.: Ландсберг Г. С., Оптика, 4 изд., М., 1957 (Общий курс физики, т. 3).

Геометрическая прогрессия

Геометри'ческая прогре'ссия, последовательность чисел (a₁, a₂,¼, a_n¼), из которых каждое равно предыдущему, умноженному на постоянное для данной прогрессии число q (знаменатель Г. п.); например 2, 8, 32,..., n = 4. Если q > 1 (q < 1), то Г. П. — возрастающая (убывающая); при q < 0 Г. п.— знакочередующаяся. Любой член Г. п. (a_n) вычисляется по формуле: a_n = a₁q^n-1; сумма (S_n) первых n членов Г. п. — по формуле:

 

Геометрические построения

Геометри'ческие построе'ния, решение некоторых геометрических задач при помощи вспомогательных инструментов (линейка, циркуль и т.п.), которые предполагаются абсолютно точными. В исследованиях по Г. п. выясняется круг задач, разрешимых с помощью заданного набора инструментов, и указываются способы решения этих задач. Г. п. обычно разделяются на построения на плоскости и в пространстве. Отдельные задачи на Г. п. на плоскости рассматривались ещё в древности (например, знаменитые задачи о трисекции угла, удвоении куба, квадратуре круга). Как и многие другие, они относятся к задачам на Г. п. с помощью циркуля и линейки. Г. п. на плоскости имеют богатую историю. Теория этих построений разработана датским геометром Г. Мором (1672) и затем итальянским инженером Л. Маскерони (1797). Значительный вклад в теорию Г. п. был сделан швейцарским учёным Я. Штейнером (1833). Лишь в 19 в. был выяснен круг задач, разрешимых с помощью указанных инструментов. В частности, отмеченные выше знаменитые задачи древности не разрешимы с помощью циркуля и линейки.

  Г. п. на плоскости Лобачевского занимался сам Н. И. Лобачевский. Общая теория таких построений и построений на сфере была развита советским геометром Д. Д. Мордухай-Болтовским.

  Г. п. в пространстве связаны с методами начертательной геометрии. Теория Г. п. представляет интерес лишь в части, связанной с практическими приложениями в начертательной геометрии.

  Лит.: Адлер А., Теория геометрических построений, пер. с нем., 3 изд., Л., 1940; Четверухин Н. Ф., Методы геометрических построений, М., 1938; Штейнер Я., Геометрические построения, выполняемые с помощью прямой линии и неподвижного круга, пер. с нем., М., 1939; Александров И. И., Сборник геометрических задач на построение с решениями, 18 изд., М., 1950.

  Э. Г. Позняк.

Геометрические преобразования

Геометри'ческие преобразова'ния, взаимно однозначные отображения прямой, плоскости или пространства на себя. Обычно рассматривают такие совокупности Г. п., что каждую конечную последовательность преобразований совокупности можно заменить одним преобразованием этой совокупности, а преобразование, обратное любому из рассматриваемых, также принадлежит данной совокупности. Такие совокупности Г. п. образуют т. н. группу преобразований. Примерами Г. п., образующих группу преобразований, могут служить движения плоскости (или пространства), аффинные преобразования,проективные преобразования.

  Лит.: Моденов П. С., Пархоменко А. С., Геометрические преобразования, М., 1961.

Геометрический стиль

Геометри'ческий стиль в искусстве, одна из ранних стадий развития древнегреческого искусства (9—8 вв. до н. э.). Высокого мастерства в искусстве Г. с. достигла вазопись. Декор ваз Г. с., ясный и конструктивный, состоит из полос меандра, крестов, окружностей и т.д. В период развитого стиля (дипилонские вазы, 8 в. до н. э.) он включает также наивные, сильно геометризованные изображения человека. Сходный характер носят мелкая скульптура и рельефы на ювелирных украшениях.

Лит.: Matz Fr., Geschichte der grierhischen Kunst, Bd 1. Die geometrische und die früharchaische Form. Textband, Fr./M., [1950].

Геометрический стиль. Скифос из Камироса (о. Родос). Ок. 700 до н. э. Британский музей. Лондон.

«Воин». Бронзовая статуэтка. 2-я пол. 8 в. до н. э. Национальный археологический музей. Афины.

Геометрический стиль. Щит из Черветери (Италия). Бронза. 7 в. до н. э. Ватиканские музеи.

Геометрический стиль. Кратер с о. Кипр. 2-я четв. 8 в. до н. э. Метрополитен-музей. Нью-Йорк.

Геометрическое среднее

Геометри'ческое сре'днее, число а*, равное корню n-й степени из произведения n данных положительных чисел (a₁, a₂, …, a_n):

 

  Г. с. двух чисел а и b, равное

 называется также средним пропорциональным между а и b.

Геометрия

Геоме'трия (греч. geometria, от ge — Земля и metreo — мерю), раздел математики, изучающий пространственные отношения и формы, а также другие отношений и формы, сходные с пространственными по своей структуре.

  Происхождение термина «Г.", что буквально означает «землемерие», можно объяснить следующими словами, приписываемыми древнегреческому учёному Евдему Родосскому (4 в. до н. э.): «Геометрия была открыта египтянами и возникла при измерении Земли. Это измерение было им необходимо вследствие разлития р. Нил, постоянно смывавшего границы». Уже у древних греков Г. означала математическую науку, в то время как для науки об измерении Земли был введён термин геодезия. Судя по сохранившимся отрывкам древнеегипетских сочинений, Г. развилась не только из измерений Земли, но также из измерений объёмов и поверхностей при земляных и строительных работах и т.п.

  Первоначальные понятия Г. возникли в результате отвлечения от всяких свойств и отношений тел, кроме взаимного расположения и величины. Первые выражаются в прикосновении или прилегании тел друг к другу, в том, что одно тело есть часть другого, в расположении «между», «внутри» и т.п. Вторые выражаются в понятиях «больше», «меньше», в понятии о равенстве тел.

  Путём такого же отвлечения возникает понятие геометрического тела. Геометрическое тело есть абстракция, в которой сохраняются лишь форма и размеры в полном отвлечении от всех других свойств. При этом Г., как свойственно математике вообще, совершенно отвлекается от неопределённости и подвижности реальных форм и размеров и считает все исследуемые ею отношения и формы абсолютно точными и определёнными. Отвлечение от протяжения тел приводит к понятиям поверхности, линии и точки. Это явно выражено, например, в определениях, данных Евклидом: «линия есть длина без ширины», «поверхность есть то, что имеет длину и ширину». Точка без всякого протяжения есть абстракция, отражающая возможность неограниченного уменьшения всех размеров тела, воображаемый предел его бесконечного деления. Дальше возникает общее понятие о геометрической фигуре, под которой понимают не только тело, поверхность, линию или точку, но и любую их совокупность.