а (х + у ) = ax + ау , (а + b ) х = ax + bx , 1×x = х , a (bx ) = ab (x );

здесь а и b обозначают числа, х и у — векторы. Множества векторов (в обычном понимании) на плоскости и в пространстве образуют линейные пространства в смысле данного определения. Однако задачи, стоящие перед математикой, заставляют рассматривать многомерные и даже бесконечномерные линейные пространства. Последние (их элементами чаще всего являются функции) составляют предмет изучения функционального анализа . Идеи и методы линейной А. применяются в большинстве разделов математики, начиная с аналитической геометрии и теории систем линейных уравнений. Теория матриц и определителей составляет вычислительный аппарат линейной А.

  О других алгебраических системах, указанных выше, см. соответствующие статьи и литературу при них.

  Д. К.Фаддеев.

  Лит.: История алгебры . Выгодский М. Я., Арифметика и алгебра в древнем мире, 2 изд., М., 1967; Юшкевич А. П., История математики в средние века, М., 1961; Вилейтнер Г., История математики от Декарта до середины XIX столетия, пер. с нем., 2 изд., М., 1966.

  Классики науки . Декарт P., Геометрия, пер. с латин., М. — Л., 1938; Ньютон И., Всеобщая арифметика, или книга об арифметических синтезе и анализе, пер. с лат., М., 1948; Эйлер Л., Универсальная арифметика, пер. с нем., т. 1 — 2, СПБ. 1768 — 69; Лобачевский Н. И., Полное собрание сочинений, т. 4 — Сочинения по алгебре, М. — Л., 1948: Галуа Э., Сочинения, пер. с франц., М. — Л., 1936.

  Университетские курсы. Курош А. Г., Курс высшей алгебры, 9 изд., М., 1968: Гельфанд И. М., Лекции по линейной алгебре, 3 изд., М. , 1966: Мальцев А. И., Основы линейной алгебры, М. — Л., 1948.

  Монографии по общим вопросам алгебры. Ван-дер-Варден Б. Л., Современная алгебра, пер. с нем., 2 изд., ч. 1 — 2, М. — Л., 1947; Бурбаки Н., Алгебра, пер. с франц., [гл. 1 — 9], М., 1962 — 66; Курош А. Г., Лекции по общей алгебре, М., 1962.

  Монографии по специальным разделам алгебры. Шмидт О., Абстрактная теория групп, 2 изд., М. — Л., 1933; Курош А. Г., Теория групп, 3 изд., М., 1967; Понтрягин Л. С., Непрерывные группы, 2 изд., М., 1954; Чеботарев Н. Г., Основы теории Галуа, ч. 1 — 2, М. — Л., 1934 — 37; Джекобсон Н., Теория колец, пер. с англ., М., 1947.

Алгебра логики

А'лгебра ло'гики, раздел математической логики, изучающий высказывания, рассматриваемые со стороны их логических значений (истинности или ложности), и логические операции над ними. А. л. возникла в середине 19 в. в трудах Дж. Буля и развивалась затем в работах Ч. Пирса , П. С. Порецкого , Б. Рассела , Д. Гильберта и др. Создание А. л. представляло собой попытку решать традиционные логические задачи алгебраическими методами. С появлением теории множеств (70-е гг. 19 в.), поглотившей часть первоначального предмета А. л., и дальнейшим развитием математической логики (последняя четверть 19 в. — 1-я половина 20 в.) предмет А. л. значительно изменился. Основным предметом А. л. стали высказывания . Под высказыванием понимается каждое предложение, относительно которого имеет смысл утверждать, истинно оно или ложно. Примеры высказываний: «кит — животное», «все углы — прямые» и т. п. Первое из этих высказываний является, очевидно, истинным, а второе — ложным. Употребляемые в обычной речи логические связки «и», «или», «если..., то...», «эквивалентно», частица «не» и т. д. позволяют из уже заданных высказываний строить новые, более «сложные» высказывания. Так, из высказываний «х > 2», «х £ 3» при помощи связки «и» можно получить высказывание «x>2 и х £ 3», при помощи связки «или» — высказывание «x>2 или х £ 3», при помощи связки «если..., то...» — высказывание «если x > 2, то х £ 3» и т. д. Истинность или ложность получаемых таким образом высказываний зависит от истинности и ложности исходных высказываний и соответствующей трактовки связок как операций над высказываниями.

  Связки. Формулы. В А. л. для обозначения истинности вводится символ и для обозначения ложности — символ Л. Часто вместо этих символов употребляются числа 1 и 0. Связки «и», «или», «если..., то...», «эквивалентно» обозначаются соответственно знаками & (конъюнкция), Ú (дизъюнкция), ® (импликация), ~ (эквивалентность); для отрицания вводится знак ^- (чёрточка сверху). Наряду с индивидуальными высказываниями, примеры которых приводились выше, в А. л. используются также т. н. переменные высказывания, т. е. такие переменные, значениями которых могут быть любые наперёд заданные индивидуальные высказывания. Далее индуктивно вводится понятие формулы, являющееся формализацией понятия «сложного» высказывания; через А, В, С,... обозначаются индивидуальные, а через X, Y, Z ,... — переменные высказывания. Каждая из этих букв называются формулой. Если знаком * обозначить любую из перечисленных выше связок, а Á и Â суть формулы, то (Á* Â) и

 суть формулы. Пример формулы:

  Связки и частица «не» рассматриваются в А. л. как операции над величинами, принимающими значения 0 и 1, и результатом применения этих операций также являются числа 0 или 1. Конъюнкция X&Y равна 1 тогда и только тогда (т. и т. т.), когда и Х и Y равны 1; дизъюнкция XÚY равна 0 т. и т. т., когда и Х и Y равны 0; импликация Х®Y равна 0 т. и т. т., когда Х равно 1, а Y равно 0; эквивалентность Х~У равна 1 т. и т. т., когда значения Х и Y совпадают; отрицание

 равно 1 т. и т. т., когда Х равно 0. Введённые операции позволяют каждой формуле при заданных значениях входящих в неё высказываний приписать одно из двух значений 0 или 1. Тем самым каждая формула может одновременно рассматриваться как некоторый способ задания или реализации т. н. функций А. л., т. е. таких функций, на наборах нулей и в качестве значений 0 или 1. Для задания функций А. л. иногда используются таблицы, содержащие все наборы значений переменных и значения функций на этих наборах. Так, например, сводная таблица, задающая функции `, X&Y, XÚY, X®Y и X~Y имеет вид:

XY		X&Y	X\/Y	X®У	Х~Y
00	1	0	0	1	1
01	1	0	1	1	0
10	0	0	1	0	0
11	0	1	1	1	1

Аналогично устроены таблицы для произвольных функций А. л. Это — т. н. табличный способ задания функций А. л. Сами же таблицы иногда называют истинностными таблицами.

  Для преобразований формул в равные формулы важную роль в А. л. играют следующие равенства:

(1)   X&Y = Y&X, XÚY = YÚX (закон коммутативности);

(2) (X&Y)&Z = X&(Y&Z), (XÚY)ÚZ = XÚ(YÚZ) (закон ассоциативности);

(3)   X&(XÚY) = X, XÚ (Х&У) = X (закон поглощения);

(4)   X& (YÚZ) = (X&Y)Ú(X&Z) (закон дистрибутивности);

(5)   X&

= 0 (закон противоречия);

(6)   XÚ

= 1 (закон исключенного третьего);