Задачи решения и исследования уравнений оказали большое влияние на развитие первоначального арифметического понятия числа . С введением в науку отрицательных, иррациональных, комплексных чисел общее исследование свойств этих различных числовых систем тоже отошло к А. При этом в А. сформировались характерные для неё буквенные обозначения, позволившие записать свойства действий над числами в сжатой форме, удобной для построения исчисления над буквенными выражениями. Буквенное исчисление тождественных преобразований , давшее возможность преобразовывать по определённым правилам (отражающим свойства действий) буквенную запись результата действий, составляет аппарат классической А. Тем самым А. отграничилась от арифметики: А. изучает, пользуясь буквенными обозначениями, общие свойства числовых систем и общие методы решения задач при помощи уравнений; арифметика занимается приёмами вычислений с конкретно заданными числами, а в своих более высоких областях (см. Чисел теория ) — более тонкими индивидуальными свойствами чисел. Развитие А., её методов и символики оказало очень большое влияние на развитие более новых областей математики, подготовив, в частности, появление анализа математического . Запись простейших основных понятий анализа, таких, как переменная величина, функция, невозможна без буквенной символики, а в анализе, в частности в дифференциальном и интегральном исчислениях, полностью пользуются аппаратом классической А. Применение аппарата классической А. возможно всюду, где приходится иметь дело с операциями, аналогичными сложению и умножению чисел. Эти операции могут производиться при этом и не над числами, а над объектами самой различной природы. Наиболее известным примером такого расширенного применения алгебраических методов является векторная А. (см. Векторное исчисление ). Векторы можно складывать, умножать на числа и множить друг на друга двумя различными способами. Свойства этих операций над векторами во многом похожи на свойства сложения и умножения чисел, но в некоторых отношениях отличны. Например, векторное произведение двух векторов А и В не коммутативно, т. е. вектор С = [А ,В ] может не равняться вектору D = [В,А ], наоборот, в векторном исчислении действует правило: [А,В ] = — [В,А ].
Следом за векторной А. возникла А. тензоров (см. Тензорное исчисление ), ставших одним из основных вспомогательных средств современной физики. В пределах самой классической А. возникла А. матриц , а также многие другие алгебраические системы.
Таким образом, А. в более широком, современном понимании может быть определена как наука о системах объектов той или иной природы, в которых установлены операции, по своим свойствам более или менее сходные со сложением и умножением чисел. Такие операции называются алгебраическими. А. классифицирует системы с заданными на них алгебраическими операциями по их свойствам и изучает различные задачи, естественно возникающие в этих системах, включая и задачу решения и исследования уравнений, которая в новых системах объектов получает новый смысл (решением уравнения может быть вектор, матрица, оператор и т. д.). Этот новый взгляд на А., вполне оформившийся лишь в 20 в., способствовал дальнейшему расширению области применения алгебраических методов, в том числе и за пределами математики, в частности в физике. Вместе с тем он укрепил связи А. с др. отделами математики и усилил влияние А. на их дальнейшее развитие.
Исторический очерк
Начальное развитие. Алгебре предшествовала арифметика, как собрание постепенно накопленных практических правил для решения повседневных житейских задач. Эти правила арифметики сводились к сложению, вычитанию, умножению и делению чисел, вначале только целых, а затем — постепенно и в очень медленном развитии — и дробных, Характерное отличие А. от арифметики заключается в том, что в А. вводится неизвестная величина; действия над ней, диктуемые условиями задачи, приводят к уравнению, из которого уже находится сама неизвестная. Намёк на такую трактовку арифметических задач есть уже в древнеегипетском папирусе Ахмеса (1700—2000 до н. э.), где искомая величина называется словом «куча» и обозначается соответствующим знаком — иероглифом (см. Папирусы математические ). Древние египтяне решали и гораздо более сложные задачи (например, на арифметическую и геометрическую прогрессии). Как формулировка задачи, так и решение давались в словесной форме и только в виде конкретных численных примеров. И все же за этими примерами чувствуется наличие накопленных общих методов, если не по форме, то по существу равносильных решению уравнений 1-й и иногда 2-й степеней. Имеются и первые математические знаки (например, особый знак для дробей).
В начале 20 в. были расшифрованы многочисленные математические тексты (клинописи) и другой из древнейших культур — вавилонской (см. Клинописные математические тексты ). Это открыло миру высоту математической культуры, существовавшей уже за 4000 лет до наших дней. Вавилоняне с помощью обширных специальных таблиц умели решать разнообразные задачи; некоторые из них равносильны решению квадратных уравнений и даже одного вида уравнения 3-й степени. Среди учёных, разрабатывающих историю математики, возник спор о том, в какой мере математику вавилонян можно считать А. Нельзя, однако, забывать, что древняя математика едина. Разделение произошло гораздо позднее.
В Древней Греции была отчётливо выделена геометрия. У древнегреческих геометров впервые сознательно поставлено исследование, каждый шаг которого оправдан логическим доказательством. Мощь этого метода так велика, что и чисто арифметические или алгебраические вопросы переводились на язык геометрии: величины трактовались как длины, произведение двух величин — как площадь прямоугольника и т. д. И в современном математическом языке сохранилось, например, название «квадрат» для произведения величины на самоё себя. Характерное для более древних культур единство научных знаний и практических приложений было в древнегреческой математике разорвано: геометрию считали логической дисциплиной, необходимой школой для философского ума, а всякого рода исчисления, т. е. вопросы арифметики и А., идеалистическая философия Платона не считала достойным предметом науки. Несомненно, эти отрасли также продолжали развиваться (на основе вавилонских и египетских традиций), но до нашего времени дошёл только трактат Диофанта Александрийского «Арифметика» (вероятно, 3 в.), в котором он уже довольно свободно оперирует с уравнениями 1-й и 2-й степеней; в зачаточной форме у него можно найти и употребление отрицательных чисел.
Наследие древнегреческой науки восприняли учёные средневекового Востока — Средней Азии, Месопотамии, Северной Африки. Международным научным языком служил для них арабский язык (подобно тому как для учёных средневекового Запада таким языком был латинский), поэтому этот период в истории математики иногда называют «арабским». В действительности же одним из крупнейших научных центров этого времени (9—15 вв.) была Средняя Азия. Среди многих примеров достаточно назвать деятельность узбекского математика и астронома 9 в., уроженца Хорезма Мухаммеда аль-Хорезми и великого учёного-энциклопедиста Бируни , создание в 15 в. обсерватории Улугбека в Самарканде, Учёные средневекового Востока передали Европе математику греков и индийцев в оригинальной переработке, причём особенно много они занимались именно А. Само слово «алгебра» — арабское (аль-джебр) и является началом названия одного из сочинений Хорезми (аль-джебр означало один из приёмов преобразования уравнений). Со времени Хорезми А. можно рассматривать как отдельную отрасль математики.
Математики средневекового Востока все действия излагали словами. Дальнейший прогресс А. стал возможным только после появления во всеобщем употреблении удобных символов для обозначения действий (см. Знаки математические ). Этот процесс шёл медленно и зигзагами, Выше упоминалось о знаке дроби у древних египтян. У Диофанта буква i (начало слова isos, т. е. равный) применялась как знак равенства, были подобные сокращения и у индийцев (5—7 вв.), но затем эта зарождавшаяся символика снова терялась. Дальнейшее развитие А. принадлежит итальянцам, перенявшим в 12 в. математику средневекового Востока. Леонардо Пизанский (13 в.) — наиболее выдающийся математик этой эпохи, занимавшийся алгебраическими проблемами. Постепенно алгебраические методы проникают в вычислительную практику, в первое время ожесточённо конкурируя с арифметическими. Приспособляясь к практике, итальянские учёные вновь переходят к удобным сокращениям, например вместо слов «плюс» и «минус» стали употреблять латинские буквы p и t с особой чёрточкой сверху. В конце 15 в. в математических сочинениях появляются принятые теперь знаки + и —, причём есть указания, что эти знаки задолго до этого употреблялись в торговой практике для обозначения избытка и недостатка в весе.
