Отоииание. Абсолютное и универсальное утверждение, которое отрицается с помощью «не» или другого отрицания, которое может быть вербальным и невербальным или и тем и другим. Многие слова, подразумевающие отрицание содержат приставку «не». Например, «некомпетентный» означает «не компетентный», «невероятный» означает «не вероятный» и т.д.

Очень многие другие слова могут по определению содержать отрицание. Лжец — это тот, кто не говорит правду. Холостяк — это человек, который не женат. Иногда универсальные слова связаны с отрицанием. «Никто» — не один человек. «Никогда» — ни в какое время.

Вы легко можете заметить эти три элемента в приведенном выше примере — «все жители Крита лжецы (не говорят правду)», так сказал житель Крита. Обратите внимание, что не зная контекста, что Эпименидис сам житель Крита, это утверждение было бы без ссылки на себя и не было бы парадоксом. Одна или более составляющая парадокса, может не появляться в утверждении, но может быть передано подтекстом (подразумеваться) информации в большем контексте — больший диапазон в пространстве или времени. Именно поэтому логические парадоксы часто не замечают, как в примере Святого Петра: «Один из них, их собственный пророк сказал: «Жители Крита всегда лгут, они злодеи и обжоры» (Тит, 1:12).

Физическим примером логического парадокса является старомодный дверной электрический звонок. Когда вы нажимаете кнопку, это замыкает цепь, активируя электромагнит, который притягивает молоточек к звонку и тот издает звук. Движение молоточка прерывает цепь, которая активирует электромагнит. Молоточек оттягивается назад на свое положение с помощью пружинки, которая снова замыкает цепь, которая активирует электромагнит снова и т.д. Процесс повторяется до тех, пока палец давит на кнопку звонка. Подобные механизмы эффективны в электротехнике, особенно в приборах, которые работают на переменном токе.

Логический парадокс — это такой же механизм — вибратор в мире логики. Истинность утверждения постоянно меняется (качается) вперед и назад между истиной и ложью. Это постоянно бросает вызов логикам, которые настаивают на том, что утверждение может быть или ложным или истинным (или бессмысленным — не ложным и не истинным). Поскольку классическая логика часто утверждает что-то вне контекста времени, то в ней нет возможности для описания утверждения, которое качается последовательно между истиной и ложью в определенном диапазоне времени. Поэтому логики часто описывают парадоксальные утверждения как «бессмысленные».

В реальном мире парадокс представляет из себя детальное описание дверного звонка и системы колебаний, которая использует ссылку на'себя как обратную связь для управления тем, что она делает. Еще один простым примером является процесс еды. Вы едите, пока не наедитесь и потом останавливаетесь. Через какое-то время вы снова начинаете хотеть есть — процесс еды заставляет вас остановиться, а остановка заставляет вас снова есть, представляя собой рекурсивную петлю обратной связи. Дыхание — тоже хороший пример. Вдох вызывает выдох и наоборот. С помощью парадокса можно хорошо описать системы в реальном мире, которые колеблются в шкале времени, включая организмы, которые используют обратную связь для удовлетворения своих нужд и поддержания своего функционирования.

Логические парадоксы возникают в нашем мышлении об окружающем мире, в нашей категоризации и в описании нашего опыта и переживаний. Это может быть подходящим описанием

системы, которая колеблется во времени. Или это может быть неподходящим описанием системы, которая не меняется со временем.

Например, в то время, когда говорил Эпименидис, он или лгал или нет — то, что он сказал не дает нам никакой подсказки, чтобы это понять. Абсолютные и универсальные категории, ссылки на себя и отрицания — это инструменты, которые наш простой разум использует, чтобы понять и осознать очень сложный мир, в котором мы живем. Парадокс показывает нам одно из ограничений этих полезных навыков.

Если верить одной древней легенде, которая вызвала огромные затруднения у философов и теологов, дьявол как- то оспорил всемогущество Бога, попросив его создать такой огромный камень, который и Бог не смог бы поднять. Если он не смог поднять камень, то он уже не всемогущ. Если же он смог его поднять, то, значит, он не смог сделать его достаточно большим (55, стр. 15).

Пример классического парадокса, который использовал Бертран Рассел: «В конкретной деревне есть цирюльник (человек), который бреет всех мужчин, которые не бреются сами. Кто же бреет цирюльника?» Мы опять можем отметить в этом утверждении все три элемента. Универсальное утверждение — «все», ссылку на себя — «бреются сами» и отрицание — «не». Если мы воспримем эту утверждение как полное смысла, то получим, что цирюльник может только брить себя, если он не бреет себя, а если он бреет себя, то он не может брить себя.

В реальном мире, конечно, кто-то бреет его и этим человеком может быть он сам. Мы легко можем избежать парадокса, если опишем мужчин из этой деревни в позитивных терминах. Если мы допустим, что все мужчины в этой деревне выбриты или цирюльником или самостоятельно, то мы получим две категории.

Те, кого бреет цирюльник.

Те, кто бреется самостоятельно.

Будучи описанными в таком виде, эти категории накладываются друг на друга и цирюльник входит в обе категории, поэтому не возникает ни парадокса, ни замешательства.

Мы также можем избежать парадокса, используя отрицание,

но без ссылки на себя («бреются сами»). У нас снова получается две категории, которые в этом случае не накладываются друг на друга.

Те, кого бреет цирюльник.

Те, кого не бреет цирюльник. Категория представляет собой «пустой набор», потому что никто из деревни не вписывается в этот критерий.

И, наконец, мы также можем избежать парадокса, если мы заменим универсальное количественное «все» в первоначальном утверждении на менее универсальное «большинство», «многие», «некоторые» и т.д., которое задает некоторые границы. Если цирюльник бреет большинство тех, кто не бреется сам, то он может теперь брить себя, потому что теперь есть две другие категории.

Те, которые не бреются сами.

Те, кого бреет цирюльник. Категория, которая полностью включает в себя тех, кто не бреется сам и также включает цирюльника.

Около ста лет назад Альфред Норт Уитхед и Бертран Рассел написали «Принципы математики» (58), что представляло в то время фундаментальные знания по логике и математике. Они хотели избежать парадоксов, которые они посчитали достаточно проблемными. Парадокс Рассела о цирюльнике был упрощенной версией сложного парадокса «простая теория множеств» — «множество множеств, которые не содержат себя в качестве своего элемента» или «любой математический объект должен быть тем или иным множеством». Это множество является членом самого себя тогда и только тогда, когда оно не является членом самого себя. Поскольку парадокс требует ссылки на себя, то, исключив это, не будет парадокса, поэтому Рассел представил о, что назвал «Теорией типов».

В соответствии с этой теорией (скорее правилами или принципами, а не теорией) ссылка на себя просто запрещена. Поскольку ссылка на себя является неотъемлемой частью парадокса, то «Теория типов» Рассела исключает парадокс. Любое утверждение типа «это утверждение ложно» просто запрещено.

В основе этой теории лежит принцип иерархичности. Это 03- начает, что логические понятия — утверждения — располагаются в иерархию типов. Существенно, что произвольная функция в ка

честве своих аргументов имеет лишь те понятия, которые предшествуют ей в иерархии.

Несмотря на кажущуюся деспотичность этой теории, она не сильно отличается от других теорий и правил в математике и логике. Например, есть ценное правило, что в выражении «2+2х» вы не может просто сложить данные и получить «4х». Однако теория типов ставит колебания вне закона, так же как и множество ссылок на себя, которые мы постоянно используем в повседневной жизни.