На этом стоит завершить Приложение , иначе придется написать параллельную книгу (для систем со значимым порядком размещения). В заключение отметим, что закон золотого сечения позволил по-своему соединить дискретный (как в первых двух главах, как в настоящем Приложении ) подход с континуальным (как в главе 3), комбинаторику с теорией пропорций. Несмотря на то, что это два принципиально разных раздела элементарной математики (арифметики или алгебры), в них есть общие точки соприкосновения, и наша культура их воплощает и схватывает.

Осталось рассмотреть еще один вариант, который выглядит едва ли не тривиальным, но при этом обладает, по-видимому, немаловажным значением.

Сохраним все прежние предпосылки, т.е. по-прежнему будем исследовать холистические системы, однако характер отношений на сей раз пусть несколько отличается от вышерассмотренных, т.е. от описываемых формулами для числа сочетаний (СМn, см. гл.1) или размещений (АМn, см. разд. П.2.1). А именно предположим, что в каждом из отношений системы задействованы сразу все ее элементы (а не только количество n) и что роль этих отношений играет порядок следования элементов. Конкретный смысл такого предположения станет яснее чуть позже, в примерах, пока же займемся чисто формальным аспектом.

По-прежнему справедливо исходное условие М = k (количество элементов равно количеству отношений, см. (1) из раздела 1.2) – вследствие холистичности: полноты, замкнутости, связности. Общее же количество отношений k определяется согласно стандартной формуле для числа перестановок, см., напр., [235, с. 521] :

k = M! ,

( П.10 )

где М! – как всегда, факториал, т.е. произведение всех чисел от единицы до М.

Подставив выражение (П.10) в условие М = k, получим

M = M! ,

( П.11 )

После сокращения сомножителя М в правой и левой частях остается

(M – 1)! = 1,

Единице по отдельности равны как 0!, так и 1! . Следовательно, (М – 1) может принимать значение либо 0, либо 1. Тогда решениями уравнения (П.11) являются

М = 1 M = 2.

(П.12)

Итак, если мы берем холистическую систему, отношениями в которой служит порядок следования элементов, то она может состоять либо из одного, либо из двух элементов. Никаких других решений нет (в частности, отсутствует и прежде привычный вариант М = 0).

На первый взгляд, это какой-то уж слишком бедный случай – всего два решения, вдобавок выглядящие тривиально. Однако при этом в любом курсе комбинаторики ситуация с числом перестановок (М!) методически предшествует всем остальным – в частности, ранее опробованным СМn и AMn. Сами формулы для числа сочетаний и размещений выводятся на основе формулы для числа перестановок. Таким образом, видимая тривиальность здесь означает не столько незначимость, сколько своего рода "фундаментальность". Чтобы избежать голословности, воспользуемся иллюстрациями.

Одним из очевидных и наиболее важных случаев, когда в системе определяющая роль принадлежит порядку следования элементов, может послужить пример со временем. Сама идея времени – это идея последовательности: что предшествует чему, а что, наоборот, следует за другим. При этом концепт времени как самостоятельной сущности предполагает, что мы берем эту сущность как некий отдельный, особый аспект реальности, т.е. независимый от других. А это, в свою очередь, означает, что мы априори конституируем холистическую систему: 1) полную, ибо целью является "схватить" время целиком – так, чтобы никакие другие гипотетические элементы не имели отношения к делу, 2) замкнутую, ибо мы не хотим, чтобы на реальную хронологию оказывали влияние какие-то посторонние, неучтенные вещи, и, наконец, 3) связную, т.е. чтобы в модели были заведомо учтены все возможные отношения (связи) между элементами.

Мы выделяем отдельный момент времени а1 и из решения (П.12) видим, что для выражения логической сути времени достаточно всего еще одного момента а2, итого М = 2. Для выражения идеи времени оказывается достаточно всякий раз, в каждом отдельном логическом акте (отдельном – т.е., целостном) брать в расчет всего два момента. Значимость порядка следования при этом не требует специальных доказательств: (а1, а2) – момент а1 предшествует моменту а2, а (а2, а1) – наоборот, а1 следует за а2.

Это самая начальная ситуация, которой мы пользуемся, чтобы выразить хронологические отношения: один момент предшествует второму, а второй, напротив, наступает позже другого. Чтобы учесть какой-то третий момент времени, скажем а3, мы должны вернуться к исходной логической ситуации, например, принять к рассмотрению пару а1 и а3 в качестве опять-таки самостоятельной, целостной, и выяснить отношения между этими а1 и а3 (что раньше, что позже), т.е. снова М = 2. Таким образом мы должны поступать применительно к каждой паре моментов.

Ничего нового о времени, без сомнения, читатель таким образом не узнал, зато мы проверили работоспособность модели на конкретном примере. Кроме того, попутно получено обоснование, что больше, чем пара моментов в рамках подобной элементарной установки не требуется: решения, большие чем 2, просто отсутствуют.

Немаловажное замечание, которое пригодится впоследствии: исследуемые семантические числа, как всегда, весьма чувствительны к конкретному аналитическому аспекту, который мы выделяем, к конкретной логике, которой мы пользуемся.

Скажем, о том же времени мы говорили в разделе 1.3, – но под знаком n = 2 и беря отношения, выражаемые формулой для числа сочетаний. Соответственно, получалось М = 3: наличие трех областей – прошлое, настоящее, будущее. В Приложении П.2.1 изучались отношения между упомянутыми областями, и в зависимости от нюансов (n = 3 или n = -1) получались решения М = 2,618 (например, настоящее как ускользающее мгновение, точка на фоне полубесконечных, более "весомых" прошлого и будущего) или М = 1,618 (наиболее значимо как раз данное нам в управление и реально воздействующее на нас настоящее, тогда как прошлое с будущим в совокупности – "полухимеры"). В текущем же разделе разобрана куда более незамысловатая ситуация, роль элементов в которой принадлежит уже отдельным моментам, и всякий раз их оказывается достаточно М = 2.