В этих заявлениях не обсуждался вопрос, являются ли эти показатели естественно ожидаемыми или же они объясняются тем, что предыдущее развитие эпидемии не принималось в расчет.
Связь между темпами роста заболеваемости и темпами удвоения (вспомним формулу (1) из раздела о кувшинках) следующая:
(4) время удвоения = ln(2)/ln (1 + темпы роста/100).
При увеличении времени удвоения происходит снижение темпов роста с 9,05 % в месяц (при времени удвоения 8 месяцев) до 5,27 % в месяц (при времени удвоения 13,5 месяца). Это означает снижение со 182,8 % роста в год до 85,2 %. На самом деле это весьма значительное сокращение! О чем оно говорит? Действительно ли причиной этому являются предполагаемые изменения в поведении или снижения темпов роста и так следовало ожидать? Далее мы это проанализируем.
Рис. 36. Случаи заболевания в ФРГ по сообщениям в прессе и согласно описанной в тексте симуляции
На горизонтальной оси рисунка 36 показан промежуток времени с 1978 по 1992 год. Черные квадратики в середине графика означают зарегистрированные случаи СПИДа в ФРГ в каждый момент времени в том виде, в котором я взял их из газетных новостей этого периода. Отмеченное квадратиками количество заболевших можно рассчитать, умножив на 10 цифры на левой шкале. В конце ноября 1988 года было около 2660 случаев заболевания; в июне 1983-го их было 43.
Мы видим, что количество заболеваний СПИДом с 1983 года очень быстро увеличивается. Часто это ускорение связывали с «экспоненциальным» ростом заболеваемости. При экспоненциальном росте темпы роста заболеваемости остаются постоянными все время. По упомянутым выше причинам это невозможно при распространении эпидемии в ограниченной популяции. «Экспоненциальным» распространение эпидемии может выглядеть разве что в самом начале. Если посмотреть на кривую, построенную через квадраты, и сравнить ее, к примеру, с кривой экспоненциального роста, то можно увидеть, что темп увеличения случаев СПИДа на самом деле не совсем совпадает с экспоненциальным ростом (пунктирные линии), хотя до сегодняшнего дня оценка количества случаев заболевания СПИДом с постоянным ростом 100 % считалась бы вполне неплохой. График показывает экспоненциальные процессы роста, которые я расположил так, чтобы они поначалу наполовину совпадали с распространением эпидемии СПИДа. Пунктирные кривые показывают процесс роста заболеваемости 130 %, 120 %, 110 %, 100 % и 90 % в год.
Мы видим, что эти экспоненциальные процессы роста показывают в целом большее ускорение, чем распространение эпидемии. Это относится даже к «медленным» кривым роста 100 % или 90 %. Поначалу они растут явно медленнее, чем число случаев СПИДа, однако потом догоняют распространение эпидемии на показанном отрезке времени и почти достигают ее темпов. Если бы мы удлинили эти кривые, то увидели бы, что все они вскоре вырастут существенно больше, чем кривая заболеваемости. Таким образом, заболеваемость не имеет тенденции к экспоненциальному росту.
Ну так разумные люди этого никогда и не утверждали – ведь экспоненциальный процесс роста, как мы уже упоминали, может развиться лишь тогда, когда для этого имеются неограниченные ресурсы.
Для оценки замедления эпидемии СПИДа нужно было не только понимать, что постоянно снижаются темпы роста числа инфицированных. Сама болезнь не вспыхивает мгновенно после заражения. Напротив, порой проходит длительное время, прежде чем из инфекции развивается «полная картина» заболевания. Сегодня мы рассчитываем на средние показатели в 8–10 лет[48]. Итак, если определенная часть населения в некий момент времени – скажем, в январе 1978 года – была инфицирована вирусом СПИДа, то некоторые ее представители через относительно короткое время заболели; в среднем же до наступления болезни прошло около 9 лет. Многие носители вируса заболели гораздо позже. То есть та часть населения, которая была инфицирована в определенный момент времени, на протяжении 8–10 лет будет давать волнообразную картину заболеваемости. Математическое отображение такого положения дел показано на рисунке 37.
Рис. 37. Переход из «состояния здоровья» в «состояние болезни» согласно формуле (3)
Возьмем в качестве примера 1000 человек, которые в некий момент времени заразились вирусом СПИДа. Когда-нибудь у этих людей разовьется полная картина заболевания, если они проживут достаточно долго и не умрут от других причин. S-образная кривая на рисунке 37 показывает переход из «состояния здоровья» в «состояние болезни». В каждой точке времени кривая показывает, какой процент населения еще не болеет. Как мы видим, примерно через 96 месяцев более половины населения, а через 20 лет (то есть 240 месяцев) всего около 1 % (в нашем случае это было бы 10 человек) не являются больными. Выпуклая кривая на рисунке 37, верхняя точка которой приходится на момент времени примерно через 80 месяцев, представляет частоту перехода на единицу времени. Соответствующие числовые значения можно видеть на левой шкале. Таким образом, через 80 месяцев примерно 0,75 % населения (в нашем случае 7,5 человека) превратятся из здоровых в больных.
Математически эта модель основана на предположении, что к определенному времени после инфицирования вероятность заболеть составляет
(3) p = 1 – exp(—rx [t – ti]),
где ti – это момент заражения. (Мы не станем приводить дальнейшие обоснования выбора именно этой формулы. На нее следует смотреть просто как на точную гипотезу того, как вероятность заболеть СПИДом со временем растет.)
Выбрав значение r, можно построить гипотезу относительно среднего времени, проходящего до начала заболевания. Если принять за r 0,00015, то средний инкубационный период составит 96 месяцев с флуктуациями, показанными на рисунке 37. Для t – ti = 80, то есть для 80 месяцев, по формуле (3) получается значение 0,01193. С этим значением уже имеющееся население увеличится, и отсюда мы получим число переходов из состояния инфицированных в состояние больных СПИДом в данный момент времени. (В нашем случае через 80 месяцев еще не заболели примерно 615 человек. 615 × 0,01193 = 7,34, что примерно соответствует приведенному выше значению 0,75 % из 1000 для перехода из «состояния здоровья» в «состояние болезни».)
Теперь предположим, что 1 января 1978 года в ФРГ среди определенной группы риска численностью 3 000 000 человек было 46 инфицированных. Далее мы предположим, что внутри этой группы риска имеется относительно высокий уровень неразборчивости в половых связях: в среднем 11,6 % ищут и находят новых половых партнеров каждый месяц. И наконец, предположим, что совместная жизнь инфицированного человека с неинфицированным партнером с вероятностью 0,53 приводит к тому, что неинфицированный партнер тоже заражается. После этого распространение инфекции в нашей фиктивной группе риска можно рассчитать для каждой точки во времени по формуле (1).
Для перехода из здорового состояния в состояние болезни мы выберем модель, которая выражена формулой (4). Мы примем за r 0,00015 и получим для каждой ежемесячной группы новых инфицированных переход в стадию болезни, который соответствует рисунку 37. Если на основе этих предположений создать симуляцию распространения эпидемии СПИДа и увеличение числа заболевших, то мы получим процесс, изображенный на рисунке 36.
Рисунок 36 показывает как темпы роста числа инфицированных, так и темпы роста числа больных. (Мы вывели темпы роста из первого прироста числа заболевших, не принимая во внимание предыдущее течение эпидемии, поэтому сначала они получились очень высокими.) Темпы роста заболеваемости на протяжении года можно увидеть на левой шкале. В июне 1983 года ежегодные темпы роста числа инфицированных составили 100 %. Темпы роста заболеваемости составили к этому времени около 125 %. Это соответствует времени удвоения числа заболевших – примерно 10,25 месяца. (В начале 1983 года темпы роста составляли примерно 140 %, что соответствует времени удвоения в 9,5 месяца, а не 8, которые называл министр Пфайфер. То время удвоения, которое Пфайфер называл для 1983 года, у нас было примерно к концу 1981-го. Поскольку наши цифры довольно точно совпадают с цифрами эмпирических расчетов, мы не будем придавать слишком большое значение отклонениям в цифрах для 1983 года – прежде всего потому, что все данные о случаях заболевания в этот год собирались с большими неточностями. В конце 1988 года темпы роста числа заболевших составили около 90 %, что соответствует времени удвоения примерно в 13 месяцев. Это вполне согласуется с цифрами, приведенными министром Пфайфером.)
