Но для понимания пикселя нам нужно учесть точку зрения того, кто смотрит на этот мир. Мир может состоять из железа, пластмассы и картофеля, но мы видим лишь яркое разноцветное поле со светлыми и темными формами и оттенками. Волны Фурье создают мир, который мы видим, из интенсивности света, изменяющейся в поле зрения.

Рис. 1.6

Как можно представить себе такое поле? Один из очевидных способов описать мир, воспринимаемый нашими глазами, – зарегистрировать интенсивность света в каждой точке поля зрения. Но учесть придется каждую точку. Поле зрения непрерывно: в нем в каждую воображаемую точку падает свет, и между ними нет промежутков. Независимо от того, насколько близко друг к другу расположены две точки, между ними обнаружится еще одна. То есть в поле зрения попадает бесконечное количество точек и, следовательно, бесконечное количество значений их освещенности.

Фурье предлагает альтернативный способ: представить видимый мир как сумму пространственных волн, сложение которых даст ту же самую картину, что и описание каждой точки. Изображенное в верхнем ряду на рисунке 1.7, например, можно описать как значение серого в каждой точке или обозначив параметры всего одной волны Фурье. Пространственная волна, соответствующая этому рисунку, имеет частоту около двух циклов на дюйм, направлена по горизонтали, ее яркость колеблется от черного до белого. Вместо огромного количества оттенков серого в каждой точке для описания картинки нам понадобятся всего несколько значений – одна частота и одна максимальная амплитуда.

Кстати, в верхнем ряду на этом рисунке показана (частично) одна из волн Фурье, вид сверху. Совсем неудивительно, что это изображение полностью описывается «по Фурье» именно волной. Обратите внимание, что вы видите волновые колебания, составляющие картину в поле вашего зрения, точно так же как слышите вибрации, составляющие звук. «Материал», из которого сделаны волны на рисунке 1.7, – это интенсивность света (или яркость), воспринимаемая как разные оттенки серого. Гребни волны окрашены в более светлый серый цвет, а ложбины – в более темный. (Этот рисунок – двумерный аналог волнистых линий, изображенных на рисунке 1.2.)

Амплитуда волны соответствует яркости изображения, так же как для звука она соответствует громкости. Частота означает количество деталей – именно ее имеют в виду люди, когда говорят об изображении с высоким разрешением или о видео высокой четкости. Большая амплитуда подразумевает высокую яркость, а высокая частота – подробную детализацию.

Если изображение неоднотонно, там присутствует информация еще и о цвете. В сетчатке нашего глаза есть три типа цветовых рецепторов – колбочек: по одному для интенсивности красного, зеленого и синего. Если точка на экране мобильного телефона или телевизора с определенной интенсивностью излучает красный, зеленый и синий цвета, то наш мозг получает от колбочек информацию об относительной силе этих трех сигналов и складывает из них итоговый цвет. В излучаемом электронными дисплеями свете первичные цвета смешиваются иначе, чем в свете, отраженном, скажем, от написанной маслом картины или отпечатанной в типографии страницы книги. Чтобы получить желтый цвет, мы должны включить красный и зеленый компоненты и выключить синюю часть. Но чтобы получить желтый свет, отраженный от страницы, мы должны блокировать синий элемент белого света и отражать только красный и зеленый. Независимо от технологии отображения глаз воспринимает все это одинаково. Поэтому далее я почти всегда буду использовать терминологию для излучаемого, а не отраженного света.

Рис. 1.7

Итак, представьте, что черно-белая картинка в верхнем ряду на рисунке 1.7 изображает цветную волну, скажем желтую. Гребень волны изображен серым – что-то между средне-серым и полностью белым, а гребень цветной волны будет желтым – что-то между средне-желтым и полностью желтым. Далее представим цветную волну как три волны одной частоты, но разной амплитуды – по одной для красных, зеленых и синих рецепторов сетчатки. Итак, желтая волна состоит из трех волн: первая похожа на показанную выше волну в градациях серого для красного рецептора, вторая точно такая же (и с той же амплитудой) для зеленого рецептора и третья такая же, но с нулевой амплитудой для синего рецептора. При равном количестве красного и зеленого и при отсутствии синего наш мозг видит желтую волну.

В среднем и нижнем рядах на рисунке 1.7 показаны другие двумерные волны – посмотрите, как они выглядят. Как и у одномерных волн на рисунке 1.2, у них разные частоты и разные амплитуды. Волна в нижнем ряду с самой высокой частотой имеет самую низкую амплитуду (серый цвет), а волна в верхнем ряду с самой низкой частотой имеет самую высокую амплитуду (почти белый цвет). Впрочем, это лишь пример. Волна может иметь любую частоту при любой амплитуде.

Итак, можем сделать вывод: мелким деталям на картинке при ее описании по Фурье соответствуют высокочастотные волны. Именно они изменяются достаточно быстро. В жаргоне специалистов по компьютерной графике есть выражение «В этой сцене много высоких частот», означающее, что в ней много мелких деталей и резких стыков.

Последнее замечание о стыках касается существенного факта, который стоит знать. Его непросто понять, но он напрямую вытекает из математики Фурье: внезапный переход на резком стыке требует высоких частот; очень внезапные изменения требуют очень высоких частот.

Вот как я формулирую изюминку теории Фурье:

Визуальный мир в виде волн не более загадочен, чем мир звука, – или, скажем так, столь же чудесно загадочен. Геттисбергскую речь можно описать как интенсивность звукового давления в каждый момент выступления Авраама Линкольна или как сумму звуковых волн различных частот и амплитуд, получив при сложении то же самое. Фурье научил нас, что оба описания эквивалентны.

Ученые и инженеры любят предложенный Фурье подход, потому что, используя его, они могут решать проблемы, с которыми сложно справиться при пошаговом описании.

Вместо того чтобы учитывать тысячи и тысячи световых точек, мы основываемся на частотах и амплитудах волн интенсивности света, которые складываются в точки. Изменившее мир учение Фурье заключает, что эти два описания эквивалентны. Визуальное поле из точек, если продолжить аналогию с Розеттским камнем, – это древнегреческий язык, а эквивалентные ему волны Фурье – иероглифы. Компьютерщику легче читать иероглифы, чем древнегреческий, но, согласно идее Фурье, это одно и то же – Розеттский камень тому подтверждение.

Критики Фурье не верили в его правоту, но математическое доказательство сомнений не оставило. Это и есть магия идеи и сокрушительная сила математики. Сложение волн разных частот даст нам картину… чего угодно! Моего цветочного сада, страницы, которую вы сейчас читаете, или фотографии вашего ребенка. В этом и заключается великая и очень важная идея Фурье.

Благодаря Бонапарту Фурье удалось пережить Террор и даже войти в правящую элиту Франции – если, конечно, считать элитой губернатора отдаленной провинции. Увлечение революцией в молодости и личное знакомство с императором могли доставить немало проблем, когда король дважды возвращался во власть. Тем не менее Фурье пережил эту круговерть, как и времена Террора. Опираясь на свой солидный политический опыт, он даже умудрился почти 13 лет продержаться в должности префекта департамента Изер, и только последний год оказался рискованным.