Тогда

при малых углах, где Pt – тангенциальная составляющая веса тела. Момент этой силы по отношению к оси вращения

Под влиянием этого момента тело приобретает угловое ускорение

где J – момент инерции тела относительно оси О.

Подставляя значения β и M, получим:

Полагая

получим:

Полученное уравнение также является уравнением гармонических колебаний с периодом

или в радианной мере

Подставив в уравнение для Ŧ значение ω, найдем:

Умножим числитель и знаменатель выражения на φ² и, учитывая также, что

получим:

Заметим, что

– путь, проходимый центром тяжести при колебаниях. Соответственно, r² × φ² = x², то есть а Отсюда

но

Так как и здесь потенциальная энергия вкладывается в процесс только в течение половины периода, запишем:

В итоге получим:

Сопоставим все три выражения, полученные из трех различных задач динамики:

Поскольку в двух последних случаях за время развития процесса потенциальная энергия полностью переходит в кинетическую и обратно, а в первом случае (при торможении) кинетическая может переходить в тепловую, то есть в процессе могут участвовать различные виды энергии, обобщим найденные зависимости, записав:

где E – сторонняя энергия, участвующая в процессе.

Рассмотрим выражение

. Присутствие в нем меры инерции точки и квадрата расстояния, которое она проходит под действием приложенной силы, определяет степень противодействия массы m изменению ее в данном случае кинетической энергии. Размерность этой величины совпадает с размерностью момента инерции при вращении тела вокруг оси, поэтому естественно назвать величину – обобщенным моментом инерции массы m.

Здесь хорошо видно, что масса есть численная характеристика степени противодействия сил инерции работе внешней силы.

В итоге для искомой функции получаем:

где

– временной интервал;

Ĵ – обобщенный момент инерции;

E – сторонняя энергия.

Заметим, что в нашем случае Е есть сторонняя энергия, относящаяся исключительно к отдельному процессу, рассматриваемому нами изолированно, поэтому ее соотношение с энергиями других процессов принципиально не рассматривается.

Система единиц выбирается всякий раз таким образом, чтобы не пришлось вводить ненужные коэффициенты.

Особо отметим, что момент инерции тела

легко преобразуется в случае колебательного движения тела в обобщенный момент инерции Ĵ.

Рассмотрим также случай, когда энергия извлекается из инерциального движения. В этом случае при торможении тела появляется сила инерции, которая производит работу против сил сопротивления движению. Несмотря на то что эта сила непосредственно выводится из рассматриваемого движения, в данном случае она все равно является сторонней силой и работа, производимая этой силой, также является работой сторонней силы. Объяснить это возможно следующими обстоятельствами. Во-первых, при истинно инерциальном движении тела в самом движении мы не можем обнаружить никаких побуждающих сил – ни внутренних, ни внешних. Во-вторых, сила инерции возникает лишь тогда, когда изменяется скорость тела, а это возможно в рассматриваемом случае лишь при внешнем изменении условий движения тела, т. е. при торможении. Сила инерции, которая и производит работу против сил сопротивления, тем самым определяется внешними причинами, хотя и действует в самом движении. Противодействие этой силы силам торможения становится возможным лишь потому, что тело имеет запас кинетической энергии, полученной вследствие того, что ранее сторонняя энергия была вложена в процесс движения. Отсюда видно, что изменение энергии, получающееся вследствие работы этой силы, есть изменение ранее вложенной сторонней энергии, извлекаемой в данном случае из движения. И всякий раз, когда мы вычисляем временной интервал, необходимо сопоставлять с этой энергией обобщенный момент инерции, соответствующий тем условиям, при которых именно эта энергия извлекается.

Необходимо отметить также, что мы рассматриваем здесь элементарные случаи вычисления временного интервала. В более сложных случаях, когда в одном и том же процессе происходит одновременное множественное преобразование вложенной энергии, выражение для него может содержать сумму элементарных процессов и состоять из нескольких отношений обобщенных моментов инерции к соответствующим им элементам вложенной энергии.

Проверим полученную зависимость на правильность с точки зрения соответствия размерностей в системе СИ, ради простоты выполнив эту процедуру для квадрата интервала времени:

Как видно, соответствие размерностей в полученном выражении не нарушено, значит, это и есть искомая зависимость, характеризующая свойства физического времени.Ф

Для того чтобы дополнительно убедиться, что полученное выражение имеет всеобъемлющий характер, возьмем случай, далекий от рассматриваемой тематики, например, время расползания волнового пакета частицы массы m₀.

где m₀ – масса частицы;

ħ – постоянная Планка.

Умножим обе стороны соотношения на

И, учитывая, что

имеем:

где ε – энергия частицы.

Откуда легко увидеть, что и в этом случае мы получаем то же выражение:

Из рассмотренных случаев видно, что, как мы и предполагали, из любой задачи динамики всегда получается одно и то же выражение для текущего временного интервала. Связано это с тем, что время как физическая величина имеет единообразный внутренний физический смысл для всей классической механики и, предположительно, и для всей физики вообще, несмотря на то что первоначально оно было введено как не имеющая дополнительных свойств абстрактная длительность.