С другой стороны, работа силы F равняется изменению кинетической энергии точки на пути х:

Учитывая, что при

имеем:

В этом случае получим для квадрата функции Т:

или

где

– временной интервал;

m – масса;

x – пройденный путь;

E_кин – кинетическая энергия.

Заметим, что в условиях нашей задачи было постулировано постоянство массы точки и силы, приводящей ее в движение, что в общем случае необязательно. Однако на содержательности дальнейших выводов это обстоятельство, как мы увидим впоследствии, никак не отразится.

Временной интервал, найденный таким образом, определяет собой собственное (внутреннее) время процесса, которое в нашем случае не имеет никакого отношения к скорости движения тела относительно другой системы отсчета, потому что в начале нашего анализа мы приняли проводить его, не используя относительные движения и в нерелятивистском приближении. Впоследствии мы обстоятельно проанализируем теорию относительности Эйнштейна и соотношение ее периодов с нашим исследованием относительно релятивистского приближения. Но для относительных движений, тем не менее, нужно заметить, что в реальности могут быть более сложные случаи, чем мы рассматривали, для которых учитывать их (относительные движения) не только возможно, но и обязательно.

К примеру, возьмем движение двух небольших астероидов вдалеке от тяготеющих масс и на пересекающихся траекториях. Здесь если учитывать движение только одного астероида на участке траектории до пересечения с траекторией другого, то мы должны принять вложенную энергию в этом движении равной нулю и временной интервал, соответствующий этому, равным бесконечности. То же самое относится и к движению другого астероида. Но если мы берем оба этих движения как один процесс, в совокупности, учитывая, что астероиды столкнутся, то должны принять, что каждый из них по отношению к другому обладает вложенной в процесс энергией, равной кинетической энергии его движения. Поэтому, когда в результате столкновения начинается процесс образования нового небесного тела или распыление астероидов с образованием пылевого облака, для этого процесса временной интервал будет определяться уже с использованием кинетической энергии обоих астероидов относительно друг друга. Могут существовать еще более сложные случаи, поэтому вывод относительно вложенной энергии должен делаться после рассмотрения всех деталей конкретной ситуации, в которой протекает процесс.

Таким образом, время (временной интервал) для каждого процесса имеет свое, определяемое только параметрами процесса значение и, кроме того, генерируется для каждого процесса своим, отличающимся от другого процесса способом, зависящим от особенностей его протекания.

Следует особо отметить то обстоятельство, что всякий раз, когда мы определяем временной интервал для независимого единичного движения, мы полагаем при этом

то есть считаем, что оно начинается с нулевой временной точки. Если при этом нам необходимо сопоставить временной интервал с каким-нибудь интервалом из внешнего для данного движения счета t_вн, то искомая длительность будет исчисляться тогда, как

В этом случае временной интервал будет описывать тот же самый процесс, но уже относительно внешнего, общеупотребительного, счета времени.

В целом полученное выше выражение, во-первых, определяет физическое время через известные величины, во-вторых, позволяет понять природу времени, исходя из характеристик самого движения, и, в-третьих, дает возможность сделать некоторые выводы относительно свойств той физической реальности, в которой происходит движение.

Остается неясным, может ли выражение, полученное в результате решения частной задачи динамики, претендовать на какую-либо степень всеобщности. Если время, которое определяется в полученном выражении, действительно то физическое время, о котором речь шла вначале, то и в любом другом случае решение динамических задач всегда должно приводить к аналогичному виду зависимости для времени. То есть ее вид должен быть всегда один и тот же, независимо от того, из какого конкретного случая она выводится.

Чтобы убедиться в этом, рассмотрим следующую простую задачу динамики:

Определить период колебания материальной точки с постоянной массой m по прямой около положения равновесия под действием квазиупругой силы, считая, что в момент времени

точка имеет

По второму закону Ньютона,

положив

получим:

Это дифференциальное уравнение второго порядка, известное как уравнение свободных колебаний материальной точки, общее решение которого имеет вид:

где x – смещение точки из положения равновесия;

a – амплитуда колебания;

ω – циклическая частота;

φ – начальная фаза.

Свободные колебания имеют характеристическое время (период), через которое все элементы движения повторяются:

Для простоты картины будем рассматривать период в радианной мере.

Умножим и разделим выражение для Ŧ² на x², по-прежнему учитывая, что

Так как и в этом случае сила действует вдоль направления движения, то

где A – работа силы на пути x, равная изменению потенциальной энергии материальной точки.

так как

Заметим, что потенциальная энергия вкладывается в рассматриваемый процесс лишь в течение половины периода Ŧ. Чтобы учесть это, запишем

что совпадает с предыдущим результатом.

в результате получим:

Для окончательной уверенности во всеобщности полученной зависимости решим третью простую задачу динамики, рассмотрев движение физического маятника, колеблющегося вокруг оси.

Определим период колебаний тела с постоянным весом P, центр тяжести которого C расположен на расстоянии r от оси вращения. Угол отклонения тела от положения равновесия φ будем считать малым, когда можно принять

Силу тяжести будем считать приложенной к телу в центре тяжести C.