О.Н. Тихонов показал, что эффективность разделения, которую можно характеризовать средним вероятным отклонением Е_pm, функционально зависит от отношения усредненной скорости зерна к коэффициенту микродиффузии (ν‾/B) входящего в вероятностное уравнение типа Фоккера-Планка:

где W – вероятность перехода зерна через границу, расположенную в ванне сепаратора на глубине h от места подачи питания; B – коэффициент диффузионного массопереноса.

Входящая в уравнение (2.11) усредненная скорость движения зерна является функцией ряда параметров:

где τ₀ – предельное напряжение сдвига вязко-пластичной среды (суспензии); остальные обозначения прежние.

Определение величины ν‾ связано с решением дифференциального уравнения движения, учитывающего сумму действующих сил.

Коэффициент макродиффузии В определяется действием двух факторов: макроскопической неоднородностью скорости потока (градиент горизонтальной составляющей скорости по глубине потока в проточной части ванны сепаратора) В₁ и турбулизацией суспензии при движении крупных зерен обогащаемого материала В₂. Очевидно, что эти факторы действуют независимо друг от друга и что полный коэффициент диффузионного массопереноса

В принципе такое равенство допустимо, так как при взаимном влиянии указанных возмущений результирующее воздействие может быть учтено введением поправочных коэффициентов

При движении зерен в потоке, имеющем градиент горизонтальной скорости, коэффициент диффузионного массопереноса (называемый в этом случае иногда турбулентной вязкостью) может быть выражен как

Таким образом, В₁ зависит от максимального размера стационарного вихря h_max (он равен или меньше глубины ванны сепаратора), разности максимального ν_c._max и минимального ν_c._min значений скорости потока и коэффициента турбулентной вязкости K.

Объяснением вертикальных перемещений зерен может служить наличие стационарных циркуляций суспензии, переносящих зерна разделившегося материала в ниже- или вышележащие слои. По большей части такие циркуляционные потоки возникают в застойных зонах, т. е. в зонах с пониженной скоростью движения суспензии.

В процессе перемещения в ванне сепаратора за каждым крупным зерном возникает вихревая дорожка, взаимодействие таких вихрей турбулизует весь объем суспензии.

Учитывая, что размер застойных зон, где происходит образование циркуляционных потоков, сопоставим по порядку величин с размером ванны, а размер последней, как правило, на порядок и более превосходит максимальный размер зерна обогащаемого материала, для всех зерен коэффициент В₁ можно считать постоянным, зависящим только от гидродинамики потока суспензии в ванне сепаратора. Следовательно, в уравнении (2.12) ξ ≈ 1.

Для коэффициента В₂ такое допущение неправомерно, так как линейные размеры турбулентных вихрей, вызываемых движением в ванне зерен обогащаемого материала, сопоставимы с их размером.

Для оценки взаимосвязи турбулентного режима движения суспензии с крупностью зерен обогащаемого материала следует определить размер зерна, для которого вязкостное сопротивление равно профильному.

Из уравнений равенства суммы движущихся сил и сил сопротивления

и сил вязкостного и профильного сопротивлений

решенных относительно v (при условии ψ ≈ π/10), получим:

– для вязкостного сопротивления

– для профильного сопротивления

Графическое решение системы уравнений относительно d при характерных параметрах работы тяжелосредного сепаратора (δ_ч– δ_с=100 кг/м³, δ_с=2000 кг/м³, µ=10^-2 Па·с, τ₀ =6 н/м²) дает размер граничного зерна d_гр = 15 мм, что близко к нижнему пределу крупности (примерно 13 мм) угля, эффективно обогащаемого в сепараторах.

Для зерен крупностью d ≤ d_гр при этих условиях преобладает вязкостное сопротивление, для зерен крупностью d ≥ d_гр – профильное сопротивление, т. е. в первом случае в качестве коэффициента диффузионного массопереноса превалирует В₁ (В ≈ В₁), во втором – В₂ (В ≈ В₂).

Исходя их этих соображений, можно полагать, что при выбранных параметрах процесса энергия турбулентных пульсаций в ванне сепаратора пропорциональна единовременной концентрации материала крупностью более d_гр, т. е. дисперсия турбулентных пульсаций D_т зависит от производительности сепаратора, гранулометрического и фракционного состава питания, плотности, вязкости и предельного напряжения сдвига суспензии:

где Р(δ_ч, d) – распределение обогащаемого материала по плотности и крупности.

Приняв линейный размер турбулентной пульсации L = d_max, можно оценить случайную составляющую скорости турбулентных пульсаций:

где ω(t) – вертикальная скорость потока суспензии, м/с; ω‾ – среднее значение вертикальной скорости потока, м/с; ν_max – максимальная скорость движения частицы размером d_max, м/с; K₁ – коэффициент пропорциональности (K₁<1);

Рассматривая отношение усредненной скорости потока суспензии к полному значению коэффициента диффузионного массопереноса, следует заметить, что при ν‾/B→0 разделение не происходит, при ν‾/B→∞ разделение приближается к идеальному.

Очевидно, что при прочих равных условиях наибольшая скорость закономерного перемещения зерна достигается при наименьших значениях динамической вязкости и предельного напряжения сдвига суспензии. Увеличение средней скорости перемещения зерна повышает отношение ν‾/B и уменьшает погрешность разделения.

Минимизация величины В также улучшает условия разделения, однако для этого необходимо уменьшить масштаб циркуляций h_max и неоднородность горизонтальных скоростей потока суспензии ν_max – ν_min.