Фигурные числа, по мнению пифагорейцев, играют важную роль в структуре мироздания. Поэтому их изучением занимались многие математики античности (Эратосфен, Диофант), большой интерес к фигурным числам проявили индийские математики и первые математики средневековой Европы (Фибоначчи, Кардано), выдающиеся умы более позднего времени (Ферма, Эйлер, Гаусс). Все результаты, которых они достигли не описать и в нескольких книгах. В частности Диофант знал формулу, связывающую треугольные и квадратные числа: 8P_n⁽³⁾=P_n⁽⁴⁾. Были выведены общие формулы представления n-го по порядку k-угольного числа. Ферма сформулировал в 1637 году так называемую «золотую теорему»: Всякое натуральное число – либо треугольное, либо сумма двух или трёх треугольных чисел.

Всякое натуральное число – либо квадратное, либо сумма двух, трёх или четырёх квадратных чисел.

Всякое натуральное число – либо пятиугольное, либо сумма от двух до пяти пятиугольных чисел; и т.д.

Полное доказательство этой теоремы сумел дать Коши в 1813 году. Оцените промежуток времени, потребовавшийся для доказательства одной теоремы: с 1637 до 1813 года.

Последние годы в занимательной математике много пишется о числах, имеющих специфическое представление в виде цифр. В первую очередь речь идет о числах – палиндромах. Это понятие пришло в математику из языка, где палиндром (от греч. palindromos – бегущий обратно), слово, фраза или стих, которые могут читаться (по буквам или по словам) спереди назад и с конца вперед, давая одинаковый смысл. В русском языке палиндромами являются, например, такие слова: довод, доход, заказ, радар и другие. Некоторые палиндромы, если их написать печатными буквами, не только читаются одинаково слева направо и наоборот, но обладают осью симметрии, например, поп, потоп, топот. Палиндромы известны во многих языках (например, gig (кабриолет), eve (канун), level (уровень) – в английском), а их история восходит к временам незапамятным. Чтобы не нарушать принятый в книге принцип давать классам чисел название в виде прилагательного, назовем такие числа палинромическими числами.

В математике к понятию палиндрома нужен иной подход, нежели в языкознании, потому что, в отличие от слова, любое число, написанное произвольным набором цифр, имеет право на существование, например, 1234567890987654321 – вполне реальное число. А что в нем еще интересного, в чем его исключительность? Содержательная сторона, изюминка идеи отражения здесь отсутствует, посмотришь на это число, и скажешь: «Ну, и что?». Можно поставить вопрос так: найти квадраты целых чисел, которые неизменно читаются как слева направо, так и наоборот. Некоторые из них найти легко: 11²=121, 111²=12321, 1111²=1234321. Все получившиеся числа палиндромы, и данное правило применимо к любому числу единиц, не превосходящему девяти. Есть и другие случаи, но их найти труднее, например, 264²=69696, 836²=698896, 2285²=5221225. Одним вопросом намечено целое направление для поиска числовых палиндромов с определенным смыслом. Есть палиндромы и среди кубов, например 11³=1331, причем в большинстве случаев, если куб – палиндром, то и кубический корень из него – тоже палиндром. Поиск палиндромов среди пятых степеней, пока не дал результатов. Высказана гипотеза, согласно которой не существует чисел палиндромов вида x^k при k>4 . Ее тоже кому-то нужно доказать или опровергнуть. Другой вопрос – сколько существует простых чисел палиндромов. Среди первых пятидесяти простых чисел я нашел шесть палиндромов: 11, 101, 131, 151, 181, 191. Сколько их всего – неизвестно! Высказывалось предположение о том, что простых чисел палиндромов бесконечно много, но эта гипотеза пока не доказана. Таким образом, в математике числовые палиндромы кроме своей специфической записи должны обладать каким-то еще интересным свойством, чтобы заслуживать внимание.

В свою очередь среди чисел палиндромов выделяются так называемые моноцифровые числа. Это если определять их более-менее по-русски (хотя какое моно русское слово?). По-английски они называются репдигит или репдиджит в зависимости от того, как мы прочитаем английскую запись (от англ. repdigit – repeated digit – повторение цифры). Вы уже поняли, что это числа, в записи которых повторяется одна цифра: 11111, 222222, 33333. Среди них в свою очередь выделяются числа репьюниты – натуральные числа, запись которых состоит из единиц (от repeated unit - повторённая единица). Термин репьюнит был придуман в 1966 году Альбертом Х. Бейлером в его книге «Recreations in the theory of numbers: the queen of mathematics entertains». Для них принято сокращенное обозначение в виде R_n: R₁=1, R₂=11, R₃=111 и т. д. Получаем последовательность: 1, 11; 111; 1111; 11111; 1111111 … . Обидно, но приходится употреблять эти неудобоваримые названия, которые неблагозвучны на русском языке и мне не очень нравятся, в отличие от самих чисел, вынужденных носить эти «репы». Для палиндромов придумали русское название – перевертень. Звучит хорошо, но почему-то не прижилось, а везде употребляется слово палиндром. Ничего не имею против взаимопроникновения языков. Мне только не нравится, что в основном это они в нас проникают. В моноцифровых числах много интересного, занимательного, поэтому о них еще поговорим в других разделах книги.

Еще один вид чисел, зависящих от входящих в них цифр – это стробограммные числа. Стробограммное число – это число, которое будучи записано на листе бумаги выглядит одинаково при повороте листа на 180 градусов. Например, 69, 96, 1001. Следует сделать небольшое замечание относительно записи единицы. Ее хвостик слева вверху немного портит картину, но принято на него не обращать внимание. При записи с использованием стандартных символов числа 0, 1, 8 симметричны вокруг горизонтальной оси, а 6 и 9 одинаковы друг с другом при повороте на 180 градусов. В такой системе записи первыми стробограммными числами являются: 1, 8, 11, 69, 88, 96, 101, 111, 181, 609, 619, 689, 808, 818, 888, 906, 916, 986, 1001, 1111, 1691, 1881, … .

Подобные числа входят в круг интересов любителей занимательной математики, а профессиональные математики, как правило, не занимаются ими. Стробограммные свойства данного числа зависят от шрифта. Например, в семисегментном изображении на электронных часах цифры 2 и 5 имеют центральную симметрию. Самый последний перевернутый год был 1961, А до этого последовательно 1881 и 1691.

Тетрадные или четырехполюсные числа – это числа, которые остается неизменными при отражении относительно горизонтальной или вертикальной оси симметрии, а также при центральной симметрии. Единственными цифрами, которые остаются теми же, если перевернуты вверх-вниз или зеркально отражены, являются 0, 1 и 8, поэтому тетрадное число-это палиндромическое число, содержащее только 0, 1 и 8 в качестве цифр. Первые несколько тетрадных чисел: 1, 8, 11, 88, 101, 111, 181, 808, 818, … . Четырехсторонняя симметрия объясняет название, поскольку tetra – это греческое число четыре. Тетрадные числа являются одновременно стробограммными и палинромическими. Более крупное тетрадное число всегда может быть сгенерировано путем добавления другого тетрадного числа к каждому концу исходного числа, сохраняя симметрию.

Наименования подмножеств натуральных чисел выражаются не только прилагательными, но и именами собственными. В дальнейшем имена собственные будет встречаться чаще.

Числа Цукермана - такие натуральные числа, которые делятся на произведение своих цифр. В честь какого Цукермана названы эти числа мне не удалось выяснить. Фамилия довольно распространенная и в русской интерпретации превращается в фамилию Сахаров. Определение этих чисел приведено в книге James J. Tattersall «Elementary Number Theory in Nine Chapters» издательства Кэмбриджского университета, 1999 года. Например, 135 – число Цукермана, так как 1+3+5=9; 135/9=15. Все целые числа от 1 до 9 являются числами Цукермана. Все числа, включающие ноль, не являются числами Цукермана, так как произведение их цифр равно нулю, а деление на ноль невыполнимо. Первые несколько чисел Цукермана, состоящие более чем из одной цифры: 11, 12, 15, 24, 36, 111, 112, 115, 128, 132, 135, 144, 175, 212, 216, 224, 312, 315, 384 … .