В случае непрерывной аппроксимации наиболее удачным подходом является построение двумерных фазовых диаграмм, по одной из осей которых откладывается сам параметр, а по другой — его производная. Для автономных объектов фазовые траектории от времени не зависят.
В некоторых случаях дифференциального уравнения первого порядка для адекватного описания динамики параметра целого оказывается недостаточно. В этом случае можно перейти к дифференциальным уравнениям более высоких порядков или к введению комплексного параметра целого. В обоих случаях это математически эквивалентно увеличению числа координат.
5. Качественный анализ и численное решение одномерной математической модели динамики объекта
Качественный анализ итерационной системы или нелинейного дифференциального уравнения позволяет ещё до их решения определить особенности поведения моделируемой системы как нелинейного объекта не только в прошлом и настоящем, но и в будущем.
Начнём анализ с автономной итерационной системы.
Выполнение условия
μ<sub>n</sub>
= F(
μ<sub>n</sub>
) означает, что система находится в стационарном состоянии.
Стационарное состояние называется устойчивым и обозначается
μ<sup>SU</sup>
, если существует некоторая область (окрестность
μ<sup>SU</sup>
) в фазовом пространстве такая, что, как только процесс в какой-то момент времени пришел в состояние из этой области, то он начинает стремиться к устойчивому стационарному состоянию параметра целого
μ<sup>SU</sup>
. Если такой области нет, т. е. если микроотклонение от точки, соответствующей стационарному значению
μ<sup>SU</sup>
, приводит к существенным макроизменениям в течении процесса, состояние системы является неустойчивым стационарным состоянием.
В общем случае график
μ<sub>2</sub>
= F(
μ<sub>1</sub>
), соответствующий итерационному соотношению, иллюстрирует закон эволюции системы и позволяет определять стационарные состояния системы и их тип.
Если кривая
μ<sub>2</sub>
= F(
μ<sub>1</sub>
), определяемая соответствующим итерационным соотношением
μ<sub>n+1</sub>
= F(
μ<sub>n</sub>
), пересекает прямую
μ<sub>2</sub>
=
μ<sub>1</sub>
, в точке
μ<sup>S</sup>
и |F
1(
μ<sub>1</sub>
)| < 1, то
μ<sup>S</sup>
— устойчивая стационарная точка, а если |F
1(
μ<sub>1</sub>
)| > 1, то неустойчивая. Рассмотрим подробнее математическую модель автономного дифференциального уравнения первого порядка d
μ/df
= f(
μ)
. Его общее решение имеет вид.
Если для какой-либо структуры в определенные моменты удалось экспериментально определить как величину выбранного нами параметра целого, так и его производной по времени, то затем, аппроксимируя функцию f(
μ)
, например, при помощи дробно-рациональной функции
можно найти коэффициенты аппроксимации ai, bi, соответствующие экспериментальным данным.
Во многих случаях поведение системы вблизи особых точек, соответствующих нулям или полюсам функции f(
μ)
описывается степенной функцией с рациональным или иррациональным показателем степени или логарифмической функции. При этом появляется многозначность поведения исследуемой модели. Величины f(
μ)
могут одновременно с различной степенью вероятности принимать конечное или бесконечное множество действительных и комплексных значений, физический смысл которых для реальных систем должен быть специально уточнён.
Экспериментальные данные показывают, что большинство структур после периода бурного роста выходят на стабильный режим. в котором структура находится значительное время.
Этот процесс можно описать, используя квадратичную функцию f(
μ)
.
Рассмотрим так называемое логистическое уравнение, которое было подробно изучено в связи с анализом роста и стабилизации популяций животных, однако имеет широкое применение при исследовании различных систем. Оно имеет вид d
μ/dt
= f(1-
μ)<div class="fb2-code"><code>μ</code></div>
.
Описываемый этим уравнением процесс имеет две стационарные точки
μ
=0 и
μ
= 1. Точка
μ
=0 неустойчива; это значит, что новые структуры могут появляться, в частности, при потере устойчивости старых. Точка
μ
=0 устойчива. Фазовая плоскость уравнения — зависимость d
μ/dt
от
μ
, представляющая собой параболу, наиболее сжато и полно характеризует особенности процесса.
В некотором смысле логистическое уравнение универсально, так как его интегральные кривые описывают процесс перехода динамической системы из одного — неустойчивого состояния в другое — устойчивое. Оно также характеризует типичный процесс роста и стабилизации структур различной природы. Его решение в случае
μ
< 1 имеет вид.
При стремлении
μ
к нулю в момент начала роста структуры логистическая кривая асимптотически приближается к экспоненциальной. Однако, по мере увеличения меры
μ
в структуре, описываемой этой кривой, развиваются процессы, препятствующие дальнейшему экспоненциальному росту структуры, и вблизи
μ=
0,5 различие кривых становится существенным. Логистическая кривая выходит на асимптоту
μ
= 1, а экспоненциальная кривая уходит вверх.
Этот закон является простейшим законом, описывающим непрерывным образом формирование новых структур.
Существуют и другие дифференциальные уравнения, решения которых дают функции, позволяющие смоделировать плавный переход из одного состояния в другое. В частности, при анализе роста и размножения биологических объектов нами было получено дифференциальное уравнение d
μ/dt
= -
μln
μ,
обладающее теми же стационарными точками, что и логистическое уравнение, но позволяющее вместе со своим аналогом, итерационным соотношением со степенной правой частью единым образом описывать рост и размножение объектов.
Во многих случаях процесс роста сложных систем происходит не непрерывно, а путём размножения элементов системы или поглощения растущей системой новых элементов. Если скачки параметра целого малы, то в первом приближении этот дискретный процесс может быть заменён непрерывным, и для его описания может быть использован аппарат дифференциальных уравнений, в противном случае для описания динамики роста и стабилизации структур может быть использован аппарат итерационных соотношений.
