Можно рассматривать несколько способов рождения новых структур.
а) Появление новой структуры (обобщённой волны) вследствие объединения или самоорганизации структур более низкого уровня иерархии, имеющих меньший объём или размерность описывающих их многообразий (квантов).
б) Появление новых структур в результате деления структуры на две и более частей.
в) Появление новой структуры вследствие потери устойчивости структуры, существовавшей до её образования.
г) Рождение новой структуры в результате слияния двух родственных структур с возможным переходом затем к многократному использованию второго способа.
д) Рождение новой структуры или волны путем излучения структур более высоких классов.
е) В качестве отдельного способа может рассматриваться целенаправленное формирование новых структур структурами более высокого класса (творчество).
Описанные способы приводят к необходимости анализа процесса формирования новых структур как бифуркационного изменения старых, уже существовавших ранее систем и структур. Тем самым, процесс появления и разрушения структур включается в цепочку превращений одних структур в другие. Таким образом, можно проследить не только время существования той или иной структуры, но и построить граф появления, существования и разрушения структур, проанализировав при этом не только внешние связи структуры с окружающей средой: полем, — но и генетическую связь структур. Многие структуры после появления начинают изменять значения своих основных обобщённых координат. В качестве примеров можно привести:
а) рост амплитуды волны при приближении её к берегу;
б) рост парового пузырька или паровой каверны при увеличении скорости движения тела;
в) рост кристаллов в растворе;
г) рост атомного гриба;
д) рост биологической клетки после деления;
е) рост живого организма;
ё) рост числа научных исследований в новой отрасли знаний;
ж) рост количества людей.
Таким образом, вновь сформировавшаяся структура может после своего появления в течение некоторого промежутка времени интенсивно увеличивать объём описывающего её многообразия, а следовательно и параметра целого, пока не выйдет на некоторое стационарное состояние. Процессы такого бурного (или не очень бурного) роста могут сильно отличаться друг от друга, однако во многих случаях они обладают некоторыми общими особенностями. Эти особенности могут быть исследованы эмпирически и описаны математическими уравнениями.
3. Эмпирический анализ двумерного фазового пространства, описываемого выбранным параметром целого и скоростью его изменения или некоторым итерационным процессом
Если параметр целого выбран, то на основании эмпирических данных может быть построена для данной системы или для серии систем, аналогичных данной, зависимость параметра целого, характеризующего систему, от времени. Эта зависимость может быть дискретной, когда для некоторых моментов времени определяется выбранный параметр, или непрерывной, в этом случае при помощи специальных приборов осуществляется непрерывная запись некоторых величин, которые затем могут быть использованы для вычисления параметра целого.
Наиболее реалистичными являются непрерывная запись или дискретное определение параметра в конкретные моменты времени с последующей аппроксимацией полученных данных в виде непрерывных функций от времени.
В этом случае вместо зависимости параметра от времени может быть построена более информативная картина двумерной фазовой плоскости, по оси абсцисс которой отложен выбранный параметр, а по оси ординат — его производная по времени. Для автономных систем, то есть систем, динамика которых слабо зависит или вовсе не зависит от параметров поля, такой график может оказаться универсальным, не зависящим от начальной точки отсчёта во внешнем времени.
Здесь проявляется интуиция — параметр целого должен быть выбран таким образом, чтобы характер его изменения для автономных систем был универсальным, то есть, чтобы зависимость его изменения от времени для данной системы и её аналогов не зависела от внешних условий. Однако, любая сложная система может считаться автономной лишь приближённо.
4. Разработка одномерной математической модели динамики объекта в рамках выбранного параметра целого
Если выбран один параметр, интегрально определяющий меру структуры, то можно построить простейшие математические модели, приближенно описывающие процесс формирования, роста структуры и выхода её на тот или иной стабильный режим, а также процесс её разрушения или превращения в качественно новую структуру.
Для параметра целого, описывающего структуру, как и ранее, введем обозначение
μ
. Рассмотрим два типа аппроксимации — итерационный и непрерывный.
Итерационный способ аппроксимации состоит в выражении последующего измеренного состояния системы через предыдущие
μ<sub>p</sub>= F(<div class="fb2-code"><code>μ<sub>p-1</sub>,</code></div>
….,
μ<sub>p-k</sub>, t
).
Особо следует выделить системы, которые могут принимать конечное число состояний. Динамика таких систем оказывается во многом эквивалентной динамике орбит конечных математических полугрупп или групп. Наиболее известным представителем таких систем является современный компьютер, который может быть непосредственно использован для моделирования их динамики.
Практически неограниченное развитие компьютерной техники и области её использования свидетельствует о существовании широкой сферы применения дискретных математических моделей с большим, но конечным числом возможных состояний, то есть значений параметра целого для достаточно подробного описания природных и техногенных процессов.
Фазовое пространство при детерминированном итерационном процессе может быть построено следующим образом. По оси абсцисс откладывается
μ<sub>p-1</sub>
, а по оси ординат
μ<sub>p</sub>
. Точка на соответствующей фазовой плоскости соответствует отображению. Для систем с конечным числом состояний количество точек конечно и равно числу состояний.
Любой динамический процесс такого типа в пределе выходит на стационарную точку,
μ<sub>p</sub>
=
μ<sub>p-1</sub>
, или на циклическую траекторию
μ<sub>p</sub>
=
μ<sub>p-к</sub>
, где к можно считать периодом цикла.
В пределе очень большого числа состояний область изменения параметра целого может быть аппроксимирована континуумом. В этом случае количество типов траекторий становится значительно больше, чем при дискретном задании. Именно здесь появляются странные аттракторы.
Значительный практический интерес представляет использование аппроксимирующих функций, имеющих разрывы функций и их производных в конечном числе точек. В этом случае особые точки отображений и аттракторы приобретают дополнительные особенности.
В случае гладкой зависимости параметра целого от времени динамика его изменения может быть описана дифференциальным уравнением d
μ/df
= f(
μ, t)
, где f(
μ
,t) — заданная гладкая функция.
Решение и качественный анализ этого уравнения позволяют не только приближенно описывать динамику структуры, но и в какой-то степени предсказывать её будущее. Если структура или система развивается по внутренним законам (воздействие внешней среды (поля) на неё пренебрежимо мало либо носит стационарный характер), то для её описания может быть использовано автономное дифференциальное уравнение d
μ/df
= f(
μ)
.
