Кстати, идея измерения путем сопоставления с какими-то стандартными объектами, которая, по-видимому, и должна лежать в основе объяснений ребенку понятий длины и площади, прекрасно реализована в замечательном советском мультфильме «38 попугаев», который я считаю выдающимся примером ненавязчивого учебно-методического фильма по математике.

Я вновь столкнулся с математикой буквально через год, играя с друзьями в классики на разрисованном мелом асфальте. Не помню, кто принес в наш двор задачу-головоломку: как обвести заклеенный конверт (прямоугольник с нарисованными диагоналями) карандашом так, чтобы при этом не пройти дважды ни по одному ребру картинки. Мы все как один бросили классики и стали чертить мелом на асфальте бесконечные конверты. Однако у нас ничего не получалось. При этом незаклеенный конверт легко поддавался такому обводу, а вот заклеенный — нет.

Я долго не мог забыть эту задачу, пока через три года кто-то из моих старших друзей не рассказал мне ее решения. Оказалось, что если такая обводка картинки возможна, то у всех вершин кроме конечной и начальной должно быть четное число входящих в них ребер, потому что, войдя в вершину по одному ребру, вы должны затем выйти по другому, стало быть, каждый проход ведет к обводке двух ребер, а это четное число. Нечетное число ребер может быть лишь у двух вершин, начальной и конечной, но у заклеенного конверта таких нечетных вершин четыре. Значит, задача не имеет решения.

Я так подробно пишу об этой хорошо известной задаче, потому что, во-первых, полностью понял тогда ее решение, а во-вторых, испытал совершенно исключительное чувство красоты и освобождения: поразительно, но оказалось, что не надо решать каждую такую задачу в отдельности, а можно изучить их все сразу, заметив то общее, что их объединяет: четность и нечетность числа ребер. Эта идея, идея сопоставления арифметического инварианта геометрической конструкции (как мы бы теперь сказали) меня совершенно поразила.

Потом, когда я начал заниматься в математическом кружке пятого класса в Таллине у замечательной учительницы Анны Аркадьевны, открывшей мне дверь в интригующий и загадочный мир математики, я часто встречался с этой идеей в различных ситуациях, но первое впечатление, связанное с задачей о конверте, запомнилось мне на всю жизнь.

Новый импульс к занятиям математикой, который я испытал, совпал по времени с нашим переездом в Калининград. Я учился тогда в восьмом классе и очень интересовался радиоэлектроникой: собирал сам транзисторные приемники, упаковывая их в миниатюрные мыльницы, и эти приемники работали. Как-то отец купил мне ламповый усилитель в наборе, я, тщательно сверяясь со схемой, собрал его, а затем решил присоединить к нему колебательный контур, чтобы получить настоящий радиоприемник. Я купил ферритовый стержень, намотал на него моток проволоки и подсоединил к усилителю через переменный конденсатор. Каково же было мое удивление, когда в приемнике послышался бодрый дикторский голос с типичным западным акцентом: я попал неожиданно на волну «Голоса Америки»!

Мне хотелось продолжить эти занятия на более содержательном уровне, и я пошел в Калининградский городской дом пионеров, чтобы записаться в соответствующий кружок, но тот был совершенно переполнен желающими, и мне отказали. Тогда я с горя записался в кружок вычислительной техники, который оказался на поверку кружком по математике, причем очень хорошего уровня: здесь работали преподаватели Калининградского политехнического института, и здесь я очень многому научился, познакомившись с совершенно новым для себя классом задач и методов.

До сих пор помню, какое впечатление произвела на меня одна естественная несложная геометрическая задача, рассказанная преподавателем: можно ли на бесконечной клетчатой бумаге провести через данный узел прямую, не пересекающую других узлов решетки?

Решение здесь вновь сводится к арифметике: если бы все прямые, выходящие из данного узла, пересекали бы обязательно какой-либо другой узел, то тангенсы углов в прямоугольном треугольнике, образованные отрезком такой прямой и перпендикулярными линиями сетки, проходящими через эти узлы, были бы обязательно рациональными числами, но ведь можно провести прямую через данный узел так, что тангенс соответствующего угла будет иррациональным, и такая прямая, стало быть, других узлов не пересечет.

Занятия в кружке шли очень интенсивно, и мой математический уровень под влиянием этих занятий заметно вырос, а главное, я почувствовал настоящий вкус к решению задач, меня по-прежнему завораживали неожиданные связи между различными методами, комбинаторными, геометрическими и числовыми, которые порой совершенно неожиданным образом объединялись при решении конкретной задачи.

Система олимпиад в Калининградской области была прекрасно отлажена, и в 1965 году я прошел по всей выстроенной олимпиадной цепочке, победив последовательно на школьной, районной и областной олимпиадах. Вместе со мной в областную команду, едущую на Всероссийскую физико-математическую олимпиаду, также попал мой приятель по кружку Боря Ровнер, и руководство команды приняло решение взять вместо девятиклассников двух способных учеников восьмого класса.

Это решение оказалось правильным. Боря получил на Всероссийской олимпиаде диплом второй степени по физике, а я — аналогичный диплом по математике, и в результате впервые Калининградская областная команда в борьбе с другими областными и республиканскими командами вошла в почетную десятку.

С удовольствием вспоминаю проведенное в Москве, в МГУ и в МФТИ олимпиадное время: здесь я впервые услышал лекцию А. Н. Колмогорова о комплексных числах, вживую увидел И. Г. Петровского, вручавшего нам дипломы, и познакомился с другими победителями по математике, которыми стали Андрей Суслин и Игорь Кричевер, разделившие со мной диплом второй степени, и Мишей Бощерницаном, получившим диплом первой степени. (Суслин и Кричевер сейчас — крупнейшие математики с мировым именем, что же касается Миши, то он давно живет в Израиле и является ярким специалистом по теории динамических систем.)

В качестве приза я получил увесистую стопку книг по математике, которую поленился тащить домой и сдал в букинистический, чего до сих пор не могу себе простить, ведь в этой пачке находилась книга Спрингера «Римановы поверхности», от которой я и сейчас бы не отказался, и многое другое.

После олимпиады я поступил в Ленинградскую физико-математическую школу-интернат номер 45, и начался совсем новый период в моей жизни, о котором также немного рассказано в этой книжке.

Я вырос в семье военнослужащего, мы часто переезжали, и за свою жизнь я сменил несколько школ: начинал учиться в первом классе в белорусском городе Полоцке, затем во время отцовской учебы в академии Генерального штаба два года проучился в Москве, а с третьего по седьмой класс включительно — в Таллине. Пожалуй, именно таллинский период жизни стал для меня самым насыщенным и интересным.

Отец, по обыкновению, устроил нас с сестрой в самую лучшую местную школу номер 19, в которой я и проучился целых 5 лет. Школа у нас была действительно очень хорошая с прекрасными учителями математики, физики, английского, а мой класс отличался еще и очень сильным и ровным составом. Юра Меримаа, Миша Корчемкин, Лена Скульская, Густав Пялль, Олег Румянцев, Саша Судницын были уже тогда в детском возрасте неординарными личностями, и общение с ними было для меня большой радостью.

Юра и Миша привлекли меня к занятиям плаваньем в бассейне ЦСКА, и все 5 лет я его исправно посещал, так, правда, и не добившись каких-либо спортивных успехов, но научившись грамотно плавать всеми стилями и наработав себе запас здоровья на много лет вперед. А с Олегом мы посещали многочисленные таллинские кружки во Дворце пионеров и в других местах.

Чем я только не занимался тогда! Кружок по радиоделу, где я научился азбуке Морзе, театральный кружок, где я сыграл в пьесе «Тимур и его команда» (до сих пор помню замечательную сцену, в которой Тимур говорит какой-то опешившей при его появлении девочке: «Тише, Таня, кричать не надо, я — Тимур») спортивная секция фехтования на саблях и т. п. Когда отец звонил домой, находясь в очередной командировке, то обязательно спрашивал, в какой еще кружок записался его сын и удовлетворенно хмыкал, выслушав очередной длинный перечень.