Единое понятие симметрии—диссимметрии неисчерпаемо» [151, с. 163].

С 1953 по 1956 г., А. В. Шубников неоднократно возвращался к анализу проблем, связанных с гомологией, уточняя и детализируя свою точку зрения на этот вопрос. Он утверждал: «В основе учения о симметрии при любом его аспекте лежит представление о равенстве частей фигуры и об одинаковости их взаимного расположения. В природных индивидах — растениях, животных, кристаллах — роль равных и одинаково расположенных частей фигуры нередко играют части одинаковой формы, но разной величины, то есть части подобные. При кристаллизации они образуются всегда в тех случаях, когда процесс кристаллизации просходит ритмически (кольца Лизеганга, спирали роста, ритмические сферолиты). Развитие учения о симметрии подобия должно стать, по нашему мнению, одной из важных задач современной теоретической кристаллографии» [244, с. 7].

Прежде чем рассматривать работы А. В. Шубникова в области геометрии, приведем высказывания Б. Н. Делоне, затрагивающие интересующий нас вопрос: «...я узнал, что в своей работе еще 1916 г. „К вопросу о строении кристаллов" Алексей Васильевич показал, что есть 11, и только 11, комбинаторно разных разбиений плоскости на то, что он называл в этой работе „планатомы". Это разбиение дуально с разбиением на „планигоны“. В 1931 году Ф. Лавэс заново открыл этот факт, то есть число И (для планигонов), и только в сноске к своей работе отмечает, что он узнал, что этот геометрический факт был уже 15 лет перед тем открыт А. В. Шубниковым.

Существование такой работы А. В. Шубникова меня тогда озадачило. Да ведь он не только блестящий экспериментатор и исследователь природы, а и математик» [Л. 57, с. 383].

Круг проблем, связанных с заполнением плоскости и пространства, очерчен в двух статьях А. В. Шубникова [15, 25].

Этот вопрос имеет давнюю историю. В 1611 г. гениальный Кеплер в небольшом трактате «О шестиугольном снеге» задался вопросом о первопричине образования звездчатой шестиугольной формы снежных кристалликов. Заимствовав у пчел форму ромбододекаэдра, И. Кеплер писал: «Итак, мы имеем дело с известной геометрической фигурой, наиболее правильной, заполняющей пространство так же, как, например, шестиугольник, четырехугольник, треугольник заполняют плоскости».[* Цит. по кн.: Шафрановский И. И. Кристаллографические представления И. Кеплера и его трактат «О шестиугольном снеге». М.: Наука, 1971, с. 4.] Разбор различных возможных шаровых упаковок привел его к плотнейшей шаровой кубической упаковке (табл. 6).

Другая плотнейшая, а именно гексагональная, упаковка открыта В. Барлоу лишь в конце XIX в. Исходя из шаровых укладок. Кеплер выводит три идеальных параллелоэдра: ромбододекаэдр, гексагональную призму с пинакоидом и куб. Кубооктаэдр, известный еще строителям Софийского собора в Константинополе и положенный в основу при проектировании центрального купола, был введен в кристаллографию Е. С. Федоровым, а И. Кеплеру оставался неизвестным.

Интересные соображения, связанные с упаковкой идентичных частиц, высказывал И. Ньютон в «Оптике», М. В. Ломоносов в работе «О рождении и природе селитры». Для полноты картины в список приверженцев решетчатого строения кристаллов XVII—XVIII вв. следует добавить имена Вестфельда и Бергмана, полагавших, что кристаллы кальцита построены из одинаковых крошечных ромбоэдров, примыкающих друг к другу своими гранями и заполняющих пространство без промежутков.

Таким образом, идея решетчатого строения кристаллов буквально «висела в воздухе» перед тем, как французским кристаллографом Р. Ж. Гаюи была создана первая по времени теория структуры кристаллов. Чисто опытным путем Гаюи нашел пять типов примитивных спайных «кирпичиков», из которых только параллелепипед, гексагональная призма и ромбододекаэдр заполняют пространство. Но в 1824 г. А. Зеебер пришел к заключению о невозможности сказать что-либо достоверное об истинной форме гипотетических элементарных «кирпичиков», и это натолкнуло его на мысль заменить их центром тяжести. Этот подход привел Зеебера к системе точек, которую он и назвал впервые «пространственной решеткой». С этого момента развитие теории заполнения пространства происходит по двум направлениям — кристаллографическому и математическому. Оба они пересекаются в трудах Б. Н. Делоне.[* Делоне Б. Н., Галиулин Р. В., Штогрин М. И. Теория Браве и ее обобщение на я-мерные решетки. — В кн.: Браве О. Избранные научные труды. Л.: Наука, 1974, с. 309—413; Современная теория правильных разбиений эвклидова пространства. — В кн.: Федоров Е. С. Правильное деление плоскости и пространства. Л.: Наука, 1979, с. 235—260.]