Иными словами, нужно найти закон перехода от одной системы отсчета к другой.

Найти этот закон довольно просто в самом общем случае, но мы рассмотрим наипростейший, а именно: во-первых, когда система K¹ движется с постоянной скоростью вдоль оси x системы K; и во-вторых, когда скорость нашего свободного тела V направлена также вдоль оси x системы K.

Тогда, если в момент t₀ = 0 системы отсчета совпадали, то за время t начало координат системы K¹ «уедет» на расстояние S = vt. Как видно из чертежа, координаты тела в новой системе можно найти, зная координаты в старой системе и используя очевидные соотношения:

Прошу поверить на слово, что если рассматривать общий случай (скорости V и v направлены не вдоль осей и не совпадают по направлениям), наши выводы останутся правильными.

Но вернемся к примеру. В каждый данный момент времени в старой системе отсчета координаты нашего тела определяются соотношениями:

Здесь x₀, y₀, z₀ — координаты тела в начальный момент t = 0.

Вспомнив формулы для перехода от одной системы к другой, получаем:

Итак, в новой системе тело снова двигается равномерно и прямолинейно вдоль оси x¹, но уже с новой скоростью V¹ = V – v.

Иначе говоря, мы доказали, что если первый закон Ньютона справедлив в системе K, то он справедлив и в K¹.

Точно так же (хотя с формальной стороны это несколько сложнее) можно показать, что если K¹ движется неравномерно или непрямолинейно относительно K, то тело, которое в K покоилось или двигалось с постоянной скоростью, в системе K¹ будет двигаться уже неравномерно или непрямолинейно.

И тем не менее в наших рассуждениях есть очень существенный пробел. Когда мы переходили от одной системы отсчета к другой, мы молчаливо допускали, что время в обеих системах течет одинаково. Если внимательно проследить за выводом, то можно увидеть, что в выражении x¹ = x₀ + (V – v)t величина t по своему смыслу означает время, измеренное в системе K. А строго говоря, чтобы описывать движение тела в системе K¹ мы должны вместо t использовать t¹, то есть время, измеренное в системе K¹. Может быть, в системе K¹ к моменту определения координат тело прошло 5 минут, а в системе K только 4?! Но мы молчаливо предполагали, что t¹ = t.

Почему мы сделали это предположение?

Только потому, что повседневный опыт убеждает нас в его справедливости^[21].

Однако возникает законный вопрос, что вообще означают слова «время, измеренное в одной системе, время, измеренное в другой системе», какой смысл вкладывается в эти понятия?

Какой физический процесс соответствует символам t¹ и t, а, кстати, заодно и x¹ и x?

Символы — это ведь не более чем символы. Они получают жизнь только тогда, когда мы однозначно определим, как именно можно отыскать те физические величины, которые они описывают.

Таким образом, вопрос о переходе от одной системы отсчета к другой возвращает нас снова к проблеме измерения времени.

Поэтому логично и естественно дать именно сейчас рецепт для измерения и координат и времени в данной системе.

1. Координата или длина в системе K определяется сравнением ее с масштабной линейкой, неподвижной в этой системе.

2. Время в системе К определяется показаниями часов, покоящихся в данной системе.

В другой координатной системе K¹ необходимо иметь часы и масштаб, которые покоятся в этой системе, и все измерения производить именно этим масштабом и этими часами.

Как видите, x¹ и x, или t¹ и t, соответствуют, вообще говоря, разным физическим процессам — измерениям, которые проводятся в разных физических условиях. Но достаточно предположить существование сигналов, распространяющихся с бесконечной скоростью, чтобы убедиться в том, что t¹ = t.

Не будем далее углубляться в дебри анализа. Мы зафиксировали наше предположение и объяснили смысл значков x и x¹, t и t¹. Пока этого достаточно.

Итак, формулы перехода от одной системы K к другой K¹, равномерно и прямолинейно движущейся вдоль оси x первой системы, имеют вид:

Это преобразование координат и времени при переходе от одной системы к другой называют преобразованием Галилея.

Естественно расширить вопрос. А как обстоит дело с остальными законами механики? Будут ли справедливы в системе K¹ все остальные законы в том случае, если они соблюдаются в системе K? Говоря другими словами, будет ли система K¹ также инерциальной системой отсчета? Оказывается, что да, будет.

Если K — инерциальная система, то любая система отсчета (K¹), равномерно и прямолинейно движущаяся относительно K, также инерциальна.

Выражая ту же мысль другими словами, говорят: законы механики инвариантны (неизменны) по отношению к преобразованию Галилея. Но если только K¹ движется ускоренно относительно K, то в ней законы механики имеют другой вид.

Вот утверждения: инерциальных систем отсчета бесконечно много, при описании механических явлений все они равноправны, законы механики во всех инерциальных системах отсчета имеют один и тот же вид, — как раз и составляют принцип относительности Галилея — важнейший принцип механики Ньютона.

Но не будем обольщаться. Мы не доказали принцип относительности совершенно строго. Мы проделали только часть работы — обосновали инвариантность (дословно — неизменяемость) первого закона Ньютона при переходе от одной инерциальной системы к другой. Инвариантность других законов Ньютона мы провозгласили. (Собственно говоря, мы их еще и не сформулировали.)

Однако если принять преобразование Галилея и четко сформулировать второй и третий законы Ньютона, то доказательство инвариантности этих законов во всех инерциальных системах отсчета — задача по своему характеру чисто математическая. Поэтому не будем этим заниматься, а постараемся понять физическое содержание остальных законов Ньютона, после чего (снова и снова) вернемся к первому закону и к принципу относительности Галилея.