где А — полная длина хронологического отрезка, который описывают хроники. Напомним, что по условию, обе хроники описывают одинаковые по продолжительности промежутки времени. Поскольку числа Xi являются расстояниями между соседними максимумами хроники, их полная сумма и должна равняться полной временной протяженности хроники, т.е. А. То же справедливо и для второй хроники Y_i.

Множество точек с целочисленными неотрицательными координатами, удовлетворяющими условию (4), автор обозначает Ш и придает ему смысл полного набора всех возможных хроник, которые описывают хронологический промежуток длины A. Каждой точке множества Ш соответствует некоторый набор максимумов, а ему, в свою очередь, некоторая «виртуальная» хроника, что и позволяет автору придать вводимому ниже коэффициенту вероятностную интерпретацию.

Коэффициент Л(X, Y) равен отношению количества точек из множества Ш, которые лежат к точке X ближе чем точка Y (в смысле декартового расстояния (3)), к полному числу точек множества Ш. Последнее число, как только что говорилось, по мысли автора — это полное число возможных хроник на данном отрезке длиной A. Величина Л(X, Y) называется «вероятностью случайного совпадения лет» (ВССЛ). Таким образом, если, например, Л(X, Y) = 10⁻⁶, то это должно означать, что из миллиона наугад взятых хроник, описывающих промежуток времени данной длины, только одна находится к хронике X также «близко», как и хроника Y. Отсюда легко сделать вывод — раз чрезвычайно мала вероятность того, что столь близкое совпадение хроник X и Y случайно, то они обязаны описывать одни и те же события, что и требуется доказать автору.

Неправда ли, все это звучит весьма убедительно? И, конечно, нельзя упрекнуть читателей, которые, не проникая глубже в методику Фоменко, остаются здесь вполне убежденными в достоверности оценок, получаемых с помощью Л(X, Y). И, однако, это не так.

Начнем, сперва, с возражений чисто теоретического характера. Замечательным свойством меры Л(X, Y) является ее некоммутативность, поскольку в общем случае

Л(X, Y) ≠ Л(Y, X)

Чтобы в этом убедиться, достаточно простейшего примера: А=2, n=2, X(2, 0), Y(1, 1), тогда Л(X, Y)=2/3, а Л(X, Y)=1. Некоммутативность ставит под сомнение саму возможность сделать из этого коэффициента какой-нибудь вывод, ведь если хроника X близка к Y по мере Л(X, Y), то вовсе необязательно, что Y также близка к X по мере Л(X, Y). Очевидно, что автору необходимо как минимум каждый раз, сравнивая хроники, определять обе меры и предъявлять их читателю, а если они совпадают, специально оговаривать этот случай. К сожалению, мы не найдем этого в цитируемой книге. Только в 3-ем ее издании (1999 г.) мы видим, что автор заменяет Л(X, Y) на среднее значение Л(X, Y) и Л(Y, X), с помощью этого добиваясь коммутации. Однако, замечательно, что при этом автором не исправлено ни одно из посчитанных еще в 1-м издании книги конкретных значений коэффициента, что вызывает у читателя законные вопросы.

Вторым важным замечанием является отсутствие связи между выводами, получаемыми с помощью Л(X, Y), и выводами, которые дают стандартные коэффициенты линейной корреляции и регрессии. Убедимся в этом на конкретном примере. Здесь и далее в примерах мы будем полагать значения А=450 лет, и n=15 — эти числа, с одной стороны, удобны для вычислений, а с другой, почти не отличаются от параметров ключевой «совпадающей» пары «Новой хронологии»: Тит Ливий — Грегоровиус (см. ниже). Рассмотрим следующие два ряда по 15 чисел с суммой 450 (они были получены, да поверит нам читатель, не подбором, а наугад, с использованием датчика случайных чисел[250])

X (25, 24, 24, 22, 28, 23, 32, 33, 37, 25, 32, 39, 32, 33, 41)

Y (36, 28, 23, 38, 20, 35, 31, 26, 28, 31, 30, 27, 39, 22, 36)

Даже при тщательном взгляде на ряды, увидеть в них какую-либо корреляцию, напоминающую связь (1), сложно. Об этом же свидетельствует и коэффициент линейной корреляции, дающий малое значение, равное

r = −0.101

При этом, чтобы сделать вывод о существовании связи хотя бы с 50% вероятностью (см. (2')), требовалось бы значение r по модулю превосходящее 0.6/ √ 15 = 0.185, достоверная же оценка существования корреляции (на уровне 99%), требует значений коэффициента |r| > 3 / √ 15 = 0.77.

Вычисление регрессионной связи рядов X и Y иллюстрирует следующий рисунок. На нем отсутствует какое-либо выделенное направление в распределении точек, соответствовавшее бы их линейной связи, что и доказывают следующие статистические показатели. Прямая, подобранная по методу наименьших квадратов (см. рис.), обладает коэффициентом регрессии

k = −0,098.

(в случае связи (1) этот коэффициент с необходимостью равнялся бы единице). При этом средняя ошибка коэффициента регрессии μ = 0.268, т.е. более чем в два раза превосходит абсолютное значение самого коэффициента, что не позволяет говорить о какой-либо значимости линейной связи.

Итак, и коэффициент линейной корреляции, и коэффициент регрессии отвергают возможность существования связи (1) для данных рядов X и Y. Тем не менее удивительным будет узнать, что коэффициент Л(X, Y) определяет эти ряды как зависимые друг от друга, с вероятностью случайного совпадения не более 2 шансов на миллион (Л(X, Y) <2x10⁻⁶).

Расскажем подробнее, как получается эта оценка. Для n, много больших единицы при вычислении Л(X, Y) автор заменяет подсчет целочисленных точек вычислением объемов соответствующих множеств, т.е.

Здесь V_n−1(Ш') — (n−1)-мерный объем множества Ш', которое состоит уже не только из целочисленных, но из всех n-мерных точек с неотрицательными координатами, удовлетворяющих условию (4), а V_n−1(X, ρ) — (n−1)-мерный объем той части Ш', точки которой лежат ближе к точке X, чем расстояние r до точки Y, вычисленное согласно (3). Из элементарных геометрических формул легко найти, что,

Величина же V_n−1(X, ρ) равна объему некоторой части (n−1)-мерного шара с центром в точке X и радиусом ρ (весь этот шар лежит в (n−1)-мерной гиперплоскости, заданной условием (4), но может содержать точки с отрицательными координатами, поэтому в множество Ш' входит только часть шара). Ясно, что V_n−1(X, ρ) не может превосходить полного объема (n−1)-мерного шара радиуса ρ, который легко вычисляется, и таким образом имеем (для нечетных n, как в нашем примере)[251]