У французского юриста Пьера Ферма было свое «хобби». В часы отдыха от бесконечных судебных заседаний он любил решать математические задачи. И чем труднее была задача, тем настойчивее Ферма добивался ее решения. И каждый раз, когда получался нужный результат, он испытывал большое удовлетворение.

В математике Ферма был гениальным самоучкой. Чтобы решать трудные математические задачи, надо много знать. И юрист изыскивал время для изучения математических трактатов. На полях читаемых книг он делал свои пометки и тут же формулировал пришедшие на ум задачи и теоремы. Так, читая «Арифметику» древнегреческого ученого Диофанта Александрийского, на полях против того места, где рассматривается неопределенное уравнение x²+y²=z², Ферма написал: «Между тем совершенно невозможно разложить полный куб на сумму кубов, четвертую степень — на сумму четвертых степеней, вообще какую-либо степень — на сумму двух степеней с тем же показателем. Я нашел удивительное доказательство этого предложения, но здесь слишком мало места, чтобы его поместить».

Так родилась «большая», или «великая», теорема Ферма: уравнение xⁿ+yⁿ = zⁿ, где n — число целое и положительное, большее 2, не имеет решений в целых числах.

До сих пор остается загадкой, каким доказательством владел Ферма и владел ли? Дело в том, что, несмотря на все усилия крупнейших математиков, «великая» теорема Ферма в общем виде еще до сих пор не доказана и не опровергнута, хотя для отдельных n она доказана совершенно строго.

Так, для n=3 и n=4 теорема доказана петербургским академиком Эйлером (1707–1873), для n=5 — геттингенским математиком Дирихле (1805–1859). Профессор Берлинского университета Кумер (1810–1893) в результате новых разработанных методов довел решение до n=100. Наконец, в настоящее время американские математики, воспользовавшись методом Кумера, при помощи электронно-вычислительных машин доказали, что утверждение Ферма справедливо для всех п от 3 до 10 000 включительно.

Интересно заметить, что простота и легкость формулировки «великой» теоремы Ферма, доступная любому ученику средней школы, привели к тому, что появилось много желающих решить эту проблему. Интерес к проблеме Ферма подогревался еще и тем, что дармштадтский математик П. Вольфскель после своей смерти оставил Геттингенскому обществу наук капитал в 100 тысяч марок для передачи тому, кто решит эту теорему.

О последствиях, вызванных обещанной премией, хорошо сказал профессор Геттингенского университета Вальтер Литцман. «Раньше, — пишет он, — каждый более или менее известный математик, а в особенности редакторы математических журналов, время от времени получали „решения“ задачи о квадратуре круга или трисекции угла, хотя невозможность решения этих задач с помощью циркуля и линейки давно строго доказана. Теперь место этих задач заняла теорема Ферма, причем здесь служила приманкой не только слава, но и звонкая монета»[14].

Характерно, что поток «решений» теоремы Ферма, как указывает тот же Литцман, шел преимущественно от лиц, непосредственно не занимавшихся математикой (гимназистов, студентов, инженеров, людей свободных профессий). Они не представляли всей серьезности проблемы и не подозревали, какой квалификации она требует от исследователя. Однако позднее эти люди заметно потеряли интерес к теореме Ферма, в особенности после инфляции, обесценившей обещанную сумму.

С именем Ферма связано также его знаменитое предложение, известное в современной литературе под названием «малой» теоремы Ферма. Читается эта теорема так: если целое число п не делится на простое число р, то п^{р — 1}—1 делится на число р.

Эта теорема приводится во всех руководствах по теории чисел и доказывается различными способами.

Ферма принадлежит также попытка найти формулу простых чисел. Так, он ошибочно считал, что такой формулой является

Действительно, при п = 0, 1, 2, 3, 4 р=3, 5, 17, 257, 65 837, т. е. р является простым числом. Однако через сто лет Эйлер показал, что уже при п = 5 р = 4 294 967 297. В этом случае р не является простым числом, так как оно делится на 641.

На других оригинальных теоремах и задачах Ферма по теории чисел останавливаться не будем. Но и этого вполне достаточно, чтобы сделать вывод, что Ферма внес большой вклад в теорию чисел и является одним из ее создателей.

Ферма наряду с Декартом явился основоположником аналитической геометрии, при этом надо заметить, что в этой области Ферма ранее Декарта, к тому же в более систематической форме, изложил метод координат, вывел уравнение прямой и кривых второго порядка, а также наметил пути доказательства, что все кривые второго порядка являются коническими сечениями.

Большие заслуги принадлежат Ферма в области математического анализа, где он дал общий закон дифференцирования степени и применил его к дифференцированию дробных степеней, вывел общее правило для отыскания максимумов и минимумов, распространил формулу интегрирования степени на случай дробных и отрицательных показателей.

Ферма был и физиком. В области физики он, например, сформулировал так называемый «принцип Ферма»-основной принцип геометрической оптики, согласно которому световой луч распространяется по такому пути, для которого время прохождения луча минимально (или максимально) по сравнению с любым другим возможным путем.

Из этого принципа Ферма выводятся широко известные законы отражения и преломления света.

В Тулузе, где Ферма занимался адвокатурой, он стал советником парламента (суда) и в этой должности прожил всю жизнь. Говорят, что из-за вечной занятости он даже ни разу не был в Париже. Однако по вопросам математики, которой он занимался от случая к случаю, Ферма вел обширную переписку со многими европейскими учеными. Так, он переписывался с Паскалем, Декартом, английским математиком Валлисом и многими другими.

Большинство научных работ Ферма появилось в печати после его смерти, они были опубликованы сыном ученого под общим названием «Различные сочинения» (1679). Открытые им прямолинейные координаты и их приложения Ферма изложил в небольшом сочинении «Введение в теорию плоских и пространственных мест» (написано около 1636 года и опубликовано вместе с другими работами в 1679 году).

Ферма вполне отдавал себе отчет в том, что его новая геометрическая теория потребует большой доработки и дальнейшего усовершенствования метода. Вот почему он считает уместным в упомянутой выше работе заметить: «И все же мы не раскаиваемся в написании этого преждевременного и не вполне зрелого сочинения. Действительно, для науки представляет некоторый интерес не утаивать от последующих поколений еще неоформившиеся плоды разума; и благодаря новым открытиям науки первоначально грубые и простые идеи как укрепляются, так и множатся. И в интересах самих изучающих составить себе полное представление как о сокровенных путях разума, так и о самопроизвольно развивающемся искусстве»[15].

И действительно, ученые последующих поколений подхватили идеи Ферма. Эйлер был одним из тех, кто придал аналитической геометрии облик, близкий к современному. Сам термин «аналитическая геометрия» появился в конце XVIII века и исходил от французского математика Лакруа (1764–1848).

Блез Паскаль, будущий «чудо-математик», родился в городе Клермоне в семье любителя математики Этьена Паскаля. Когда ребенку исполнилось восемь лет, отец с семьей переехал в Париж, бывший в то время центром математической мысли Франции. С некоторыми учеными Парижа Этьен Паскаль завел короткое знакомство и имел привычку приглашать их домой для задушевных бесед.