Существовала и другая причина, почему мир начал замечать Геделя: стало ясно, что феномен, на который он указал, не был ограничен только странными парадоксами древних греков. Недоказуемость и неразрешимость являются фундаментальными характеристиками нашего мира.
Дальнейшее развитие теоремы Геделя в 60-е годы шло под различными названиями — теория алгоритмической информации, алгоритмическая степень интеграции, алгоритмическая случайность. Но какое бы название мы ни выбрали, отцов-основателей этого направления было три: Рэй Соломонофф, Андрей Холмогоров и Грегори Чаитин.
Сложно? На самом деле все не так сложно, как кажется. На самом деле с помощью этой теории можно гораздо проще выразить то, что открыли Гедель и его последователи. Она дает нам разумное определение того, чем на самом деле является случайность — а это важно, так как это дает нам намек на то, что такое порядок.
Отправной точкой здесь являются числа. Что такое случайное число? Так как все три эти джентльмена были математиками, у них была склонность к бинарным числам — то есть числам, которые состоят только из нулей и единиц: 010110100110 …
Такие числа сложно воспринимать визуально — но если перед ними поставить запятую, то они будут выглядеть как старые добрые десятичные дроби: 0.10110100110. Является ли это число случайным? На самом деле мы просто записали серию случайных двоичных цифр. Но была ли это просто случайность?
Мы могли с таким же успехом 12 раз бросить монетку, обозначив «орла» как 1 и «решку» как 0. В этом случае, конечно, число было бы случайным? Можем попробовать: 100010000111 — нет, никакого обмана: мы бросили монетку 12 раз. Но если мы сделаем это еще раз, число, конечно, будет другим: 110011010000.
Конечно, можно было сделать и что-то совсем другое. К примеру, можно было устроить проверку нашего знания бинарных номеров, написав, допустим, 0.010101010101.
Вот это уже не кажется случайным — это последовательность 01. Такую последовательность можно было выразить проще: 0 точка 6 раз 01. Но на самом деле этот пример довольно хитрый, так как выразить данное число можно даже более кратко: это бинарное представление 1/3.
Смысл заключается в том, что определенные числа могут быть представлены в гораздо более краткой форме. К примеру, 111111111111111111 можно записать как «18 раз единица».
Если использовать десятичную систему, 0.42857142857 можно записать как 3/7, а 1234567891011121314151617181920 как «последовательность цифр от 1 до 20».
Но могут ли последовательности, которые мы получаем, бросая монетку, также быть записаны в краткой форме? Нет, не могут. Ведь они в сущности являются информацией о 12 последовательных событиях, полностью независимых друг от друга. Не существует системы, которая могла бы определить, появится ли в следующей позиции 0 или 1. Да, мы вполне можем ожидать, что много раз выпадут нули или единицы, а вся последовательность при этом будет состоять примерно из одинакового количества тех и других, так как мы ожидаем выпадения «орлов» и «решек» с примерно одинаковой вероятностью. Однако порядок их будет произвольным. В нем не будет системы.
Конечно, мы можем подбросить монетку 12 раз и получить последовательность 010101010101, которая может быть выражена очень кратко — но это не будет происходить слишком часто. На самом деле примерно можно подсчитать, что нам для этого придется подбрасывать монетку тысячи раз, прежде чем мы сможем получить эту последовательность (и любую другую специфическую последовательность). Не стоит принимать это во внимание.
Таким образом, случайные числа нельзя описать более кратко. Но другие — можно, к примеру, 0.42857142857 может быть записано как 3/7.
Таким образом, различия между случайными и упорядоченными числами может быть выражено так: случайные числа — это числа, которые нельзя описать более коротким образом, а упорядоченные — можно. Именно это мы и подразумеваем под порядком.
Теория этих трех джентльменов гласит, что таким образом мы получаем очень хорошую теорию порядка и случайности. Случайность — это то, что не может быть выражено более кратко в виде алгоритма. Случайные числа — это числа, которые нельзя выразить короче, чем они есть.
Противоположный случай — упорядоченные числа. «3/7» — это правило арифметики, алгоритм, который говорит нам, как получить последовательность 0.42857142857 (если мы согласимся иметь дело только с первыми 12 цифрами). Таким образом, эта последовательность является менее случайной, чем 0.32857142877, где изменены две цифры и, вероятно, получилось число, которое не может быть выражено простой дробью.
Но можем ли мы быть уверены? Кто сказал, что 0.35657142877 не является некоей простой дробью — ведь, возможно, мы просто в спешке это просмотрели?
Возможно, найдется читатель, который найдет алгоритм для последовательности 0.35657142877, который будет короче, чем сама последовательность. Если это произойдет, будет доказано, что последовательность не является случайной. Но до тех пор мы можем предполагать, что она таковой является.
Тем не менее никто не знает, что именно может предпринять хитрый читатель: и в определенном смысле именно это и доказал Гедель.
Мы не можем установить одно общее правило, которое будет говорить нам, как установить, является ли число случайным или нет — может ли оно быть выражено более коротко или нет. Это есть прямое следствие открытия Геделя. Это теорема Геделя — именно то, что он доказал.
Мы знаем, что число может быть выражено в более краткой форме, только тогда, когда понимаем, что это возможно. До тех пор мы не можем этого утверждать.
Случайных чисел больше, чем упорядоченных. Большинство чисел невозможно представить в более коротком виде, нежели они уже есть. Это можно понять интуитивно благодаря способу, по которому мы (возможно) создаем случайные числа: мы просто смотрим на упорядоченное число 3/7), записываем его в десятичной форме — и меняем две цифры. Результат (предположительно) будет представлять собой случайное число. Но мы можем изменить и две другие цифры, или поменять уже измененные цифры на другие. Результат (предположительно) тоже будет случайным числом. (Важно, что алгоритм, описывающий способ создания «беспорядочных» номеров, не может быть выражен более кратко, нежели само число — иначе все пойдет насмарку. Число 0.32857142877 может быть представлено как 3/7 — 0.1 + 2 X 10~10 — это почти короче, чем само число, которое в этом случае точно не будет случайным).
Есть возможность доказать, что число не является случайным, так как оно может быть описано в более коротком виде — другими словами, в виде алгоритма. Но невозможно сказать, что число не может быть описано более кратко.
Это и есть открытие Геделя: мы можем сказать, что такое порядок, когда его увидим. Но мы не можем сказать, что это не является порядком только потому, что мы его не видим — и никакие математики, логика или компьютер не смогут нам в этом помочь.
Порядок есть порядок. Остальное остается неопределенным.
Безусловно, три джентльмена расширили эти идеи. Самый короткий путь описания серии цифр также может быть выражен в виде самой короткой инструкции, которую мы можем дать машине для распечатывания этого номера. В ситуации со случайным числом нам придется сказать машине всю последовательность, в то время как числа вида 0.42857142857 могут вводиться более кратко — как s/t.
Идея, таким образом, заключается в определении алгоритмического информационного контента серии чисел как самого короткого алгоритма, который заставит машину Тьюринга распечатать эту последовательность. Эта концепция известна также как алгоритмическая степень интеграции или алгоритмическая случайность.
Но — можем возразить мы — это значит, что случайные числа содержат больше информации, чем упорядоченные. И это действительно так. Информационное содержание выражается тем, насколько сложной является передача сообщения. Более длинный разговор по телефону потребуется для описания результата подбрасывания 12 раз, чем числа 3/7, так как случайное — это то, что не может быть сказано короче.
