Проблема решения, может или нет быть выведено то или иное отдельное предположение, на первый взгляд гораздо больше должна занимать инженеров — это проблема, которая затрагивает специфические и конкурентные вопросы. Безусловно, она интересует и математика, но для всех остальных она должна казаться значительно менее важной, чем сама фундаментальная проблема — что мы не в состоянии доказать все.
Но нет. Даже если этот вопрос может показаться скучным — ответ на него определенно таковым не является.
В своих лекциях Ньюман спрашивал, можем ли мы создать своего рода «механический процесс», который был бы применим к математической задаче с целью определить, имеет ли она решение. В сущности, это было как раз то, о чем спрашивал Гильберт: существует ли рецепт, который может нам сказать, способны ли мы вывести специфические следствия из теории? Желательно, чтобы это был способ, который не потребует слишком много воображения и при этом действительно будет механическим — алгоритм, как называют это математики.
«Механический процесс». Алан Тьюринг принял во внимание выражение Ньюмана. Он подумал о машинах — машинах, которые могли бы считать. В 1935 подобные машины уже существовали — но они не представляли особого интереса. И Тьюринг начал рассматривать принцип работы подобных машин: что нужно, чтобы машина могла решить математическую задачу и определить, может ли предположение быть получено из теоретической системы?
Требовалось не так уж много. Тьюринг изобрел простую логическую машину, которая не слишком много умела. Она могла выполнять несколько инструкций: писать, читать и выполнять в своей памяти исправления. Немногим больше, чем обычная печатная машинка.
Но Тьюринг оснастил свою логическую машину бесконечно большой памятью. Он предусмотрел для машины возможность записывать свою деятельность на рулоне бумаги бесконечно долго. Эта бумага могла перемещаться вперед и назад, так что машина — как и печатная машинка — работала на определенном участке в определенный момент времени. Этот бесконечный рулон бумаги — лента — был бесконечным вот почему: на самом деле неважно, насколько точно машина выполняла свои инструкции. Ведь у нее было достаточно памяти и достаточно времени.
Тьюринг понял, что такая простая машина — которая известна сегодня как машина Тьюринга — могла бы на самом деле решить многие задачи Гильберта по дедукции — и как раз потому, что Гедель изобрел элегантный логический маневр, благодаря которому можно было рассматривать любой вид математических конструкций под видом чисел. Это была универсальная машина, способна решить любые арифметические задачи. Любые известные выполнимые вычисления можно было выполнить на машине Тьюринга, которая, следовательно, воплотила принцип счетной машины в ее чистом и обобщенном виде.
Но вскоре Тьюринг понял и кое-что еще: алгоритм может быть написан так, что будет для машины «не пережевываемым» в понятной для нее манере. Были числа, к которым она не могла подобраться. И не потому, что числа были слишком большими — а потому, что алгоритм был слишком непостижим: невозможно было сказать, сможет ли машина справиться с числом, пока операция не была выполнена — а это могло занять бесконечно много времени. Таким образом никто не мог знать, удастся ли ему получить результат в течение конечного периода времени.
Это значит, что Entscheidungsproblem Гильберта была неразрешимой. Мы не можем создать алгоритм, который говорил бы нам, может ли что-либо быть выведено из математической системы.
Это заключение важно само по себе — и к нему одновременно и независимо пришел и другой ученый — американский логик Алонзо Черч.
Но в открытиях Тьюринга есть и еще одна интересная вещь: ему удалось сделать сразу два открытия одновременно, летним днем, лежа на лугу. В своей биографии Алана Тьюринга Эндрю Ходжес описывает это так:
«Алан доказал, что не существует никакой «чудесной машины», которая могла бы разрешать все математические задачи. Но в процессе он открыл кое-что столь же чудесное — идею универсальной машины, которая могла бы взять на себя работу любой машины».
Тьюринг создал теорию машин, которые могли считать. Несколько лет спустя Вторая мировая война привела к тому, что значительные ресурсы были брошены на срочное развитие электронных компьютеров, особенно в Великобритании и США. Британцы пользовались ими, чтобы расшифровать секретные немецкие коды коммуникации. Американцы использовали их, помимо всего прочего, для создания атомной бомбы.
Со времен Второй мировой войны компьютеры стали обычным делом. Уже десятки лет человек увлечен идеей тех бесконечных возможностей, которыми наделили нас компьютеры и которые позволяют нам контролировать мир и следить абсолютно за всем.
Но факт заключается в том, что как только была изобретена концепция и теория вычислительных машин, Алан Тьюринг тут же осознал: мы не можем вычислить все. Человеческий разум оказался в состоянии сформулировать идею об универсальной вычислительной машине в тот самый момент, когда стало ясно: мы не в состоянии вычислить все механически. Существуют вопросы, возможность ответа на которые приходит только тогда, когда эти ответы получены — но не раньше.
Глубина этих отношений может оказаться для нас чуждой. Тезис Черча-Тьюринга просто утверждает, что мы можем вычислить все, что уже было вычислено. Вы можете делать все то, что, как вам известно, вы можете делать. А узнать, можете ли вы это сделать, вы сможете только после того, как уже сделаете!
Сегодня, когда компьютеры стали вездесущими, эта идея более знакома нам как «проблема остановки Тьюринга»: если говорить в целом, можем ли мы определить, когда компьютер закончит определенное вычисление? Ответом будет «нет»: мы не можем знать заранее, когда компьютер закончит вычисление (если, конечно, раньше он этого не делал).
Аналогично мы не можем знать, закончит ли компьютер вычисления вообще — до тех пор, пока он их не закончил. Пока он не закончил, мы не знаем, закончит ли он или будет продолжать работать вечно.
Это, конечно, не касается простых вычислений повседневной жизни — относительно них у нас есть большой опыт. Но мы знаем это только потому, что у нас уже есть подобный опыт. Нет принципиальных универсальных логических правил, которые могли бы сказать нам то, что было бы нам не известно.
Тезис Черча-Тьюринга и проблема остановки Тьюринга говорят нам о том, что мы не можем получить знаний иначе, чем через опыт. Невозможно заранее сказать, что произойдет.
В этом отношении компьютеры сходны с искателями истины и маленькими детьми. Все, что мы можем сделать — это ждать, пока они закричат: «Я закончил!».
«Большинство математиков, возможно, предпочли бы ограничить разглашение информации о текущем статусе математики «членами семьи», — писал в 1980 году Морис Клайн в своем предисловии к книге о том, как математика теряет уверенность. — Если об этих проблемах узнает общественность, это будет так же нехорошо, как распространять сведения о чьих-то проблемах в браке».
И действительно, в течение многих последних лет прошло несколько волн кризиса. Последовательность этих событий подытожил Руди Рукер в своей книге, опубликованной в 1987 году: «Теорема Геделя показывает, что человеческая мысль является более сложной и менее механической, нежели мы могли ранее полагать. Но после первоначального волнения 30-х годов результат свелся к небольшому количеству технической математики. Теорема Геделя стала частной собственностью представителей математической логики, и многие из этих академиков впадают в высокомерие при любом предположении о том, что эта теорема может иметь какое-то значение для реального мира».
Философы тоже не слишком преуспели, хотя в начале 30-х годов польский философ Альфред Тарский действительно представил сходные с Геделем аргументы, демонстрирующие, что мы никогда не сможем вывести истины из системы, находясь внутри нее.
Но теорема Геделя все же стала широко известной, и не в последнюю очередь потому, что в 1979 году американский ученый-компьютерщик Дуглас Хофстадтер опубликовал очень красивую, очень сложную и очень знаменитую книгу «Godel, Escher, Bach и Kомпания», в которой он указывает на духовное родство Иоганна Себастьяна Баха (1685–1750), чью музыку современники находили чересчур «математической», графического художника Мориса Эшера (1898–1972), до сих пор не вполне признанного коллегами, и Курта Геделя (1906–1978), информация о котором только сейчас распространяется в широких кругах.
