Для обозначения чисел 60, 70, 80 и 90 вертикальные палочки выкладывались сверху, чтобы отличить их от 6, 7, 8 и 9. Возникал вопрос: как расположить палочки для обозначения сотен, тысяч и последующих степеней 10? Китайцы решили эту задачу при помощи доски, столбцы которой обозначали различные степени 10.

В этой системе нулю соответствовала пустая клетка.

Представление чисел 6104 и 84 071 на чоу.

При умножении в уме вычислялись суммы и произведения небольших чисел, представленных в таблице. Суть этого метода, как и метода, применявшегося на африканских рынках, заключалась в разложении чисел на разряды и неявном использовании свойства дистрибутивности, которое в те времена еще даже не имело названия. К примеру, чтобы умножить 285 на 43, между строками, где записывались числа, следовало оставить пустую строку для промежуточных расчетов. Следующие действия выполнялись в уме.

Суть метода заключалась в разложении 285 и 43 на сотни, десятки и единицы:

285·43 = (200 + 80 + 5)·(40 + 3) = 40·200 + 40·80 + 40·5 + 3·200 + 3·80 + 4·5 = 12 255.

Эта же доска использовалась для решения уравнений и систем уравнений. Кроме того, считается, что именно доска чоу стала прообразом записи чисел в столбцы.

Некоторые считают чоу предшественником абака, который был изобретен намного позже, примерно в XIV веке, и до сих пор используется во всем мире, особенно в странах Юго-Восточной Азии (в Сингапуре и Таиланде) и Восточной Азии (в Китае, Корее и Японии).

Абак представляет собой вытянутый прямоугольник, как правило, изготовленный из дерева, с поперечной перекладиной и множеством вертикально расположенных спиц, на которые насажены семь деревянных шариков. Два шарика расположены над поперечной перекладиной, оставшиеся пять — под ней. Число спиц составляет от восьми до 20 и более.

Учитывая, что на каждой спице с помощью шариков обозначаются единицы от 0 до 10 и каждая спица соответствует степени 10, на абаке с 20 спицами можно представлять очень большие числа — до 10²⁰ — 1.

Бамбук или дерево, из которых можно было изготовить инструменты для счета, подобные чоу и абаку, были доступны не во всех странах. Как вы уже знаете, шумеры несколько тысяч лет назад использовали для представления цифр и чисел камешки.

В Америке индейцы майя применяли систему счисления, схожую с китайской, и обозначали числа камнями. Также майя ввели особый символ для нуля. Намного южнее на Американском континенте можно встретить еще один необычный инструмент для счета, весьма непохожий на чоу и абак. Однако, подобно чоу и абаку, этот инструмент имел небольшие размеры и потому был очень удобным в переноске.

Речь — о кипу инков, первых приспособлениях для передачи информации о числах.

Кипу — это пучки веревок, с помощью которых инки фиксировали числа. Анализ сохранившихся экземпляров позволяет понять, как именно производились подсчеты.

Абак содержит деревянные костяшки, надетые на рейку или спицу; в кипу же числа обозначались узлами. Каждый узел соответствовал цифре или числу в зависимости от положения на веревке и цвета.

Инкское кипу.

Как правило, кипу изготавливались из шерсти или хлопка. В жизни инков веревки играли важную роль: они применялись при постройке мостов, уплате податей, а также выполняли много других функций. Считается, что кипу использовались для фиксирования данных о налогах и урожае (это немного напоминает современные бухгалтерские записи), но истинное значение кипу так до конца и не расшифровано.

В кипу свой смысл имел способ, которым были завязаны узлы, а также их цвет и расположение относительно других узлов и веревок. Вытянутое кипу представляло собой канат, с которого свисало множество веревок. Кипу «расчесывались», то есть веревки отделялись друг от друга, чтобы можно было увидеть, какие узлы на них завязаны, как выглядит кипу в целом, и попытаться разгадать его смысл.

Инки не имели письменности, и среди всех артефактов инкской культуры, дошедших до наших дней, именно кипу напоминают письменность больше всего. Возможно, некоторые кипу имели не только математический смысл, но описывали события из истории и общественной жизни.

Главная веревка кипу была толще остальных, на нее навязывались другие, более тонкие, а на них уже вязались узлы. На эти тонкие веревки, в свою очередь, могли навязываться веревки третьего, четвертого и следующих порядков, образуя древовидную структуру. Число веревок могло доходить до нескольких сотен или даже тысяч штук. Некоторые веревки второго порядка расходились в противоположные стороны от главной. Когда кипу раскладывалось на плоскости так, чтобы главная веревка проходила вдоль горизонтальной оси, одни веревки второго порядка указывали вверх, другие — вниз. Тонкие веревки навязывались на главную на определенном расстоянии, чтобы кипу было легче прочесть. Аналогичным образом на них навязывались веревки второго и последующих порядков. Веревки также различались по цветам, так что кипу могли быть раскрашены во множество цветов. Если узлы обычно обозначали цифры, то цвета могли указывать контекст и помогали различать товары или группы людей, к которым относились цифры.

В кипу использовалась десятичная позиционная система счисления, подобная нашей. Американский математик и исследователь-этноматематик Марсия Ашер изучила множество кипу и разделила их узлы на три группы: простые, сложные и «восьмерки». Простой узел — простейшая разновидность узла, известная всем. Сложный узел был продолжением простого: если в простом узле на веревке делалась одна петля, то в сложном — две и более. В узле-«восьмерке» делались две петли в противоположных направлениях. В эту классификацию следует включить еще одну разновидность узлов — пустой, или отсутствующий узел, который обозначал ноль.

Будем обозначать узлы точно так же, как и профессор Ашер: жирной точкой — простой узел, маленьким крестом — сложный. Вместо буквы Е (первой буквы английского слова eight — «восемь») будем обозначать узлы-«восьмерки» буквой О. Узлы на каждой веревке объединены в группы по интервалам. Каждому интервалу соответствует целая степень 10, отсчитываемая от конца веревки.

На концах веревок простые узлы не завязывались. В принципе, можно было использовать сложные узлы и узлы-«восьмерки», однако обозначать единицу сложным узлом не имело особого смысла. Поэтому единицы, которые отмечались на концах веревок, обозначались «восьмерками». Представим несколько чисел на воображаемой кипу, применив указанные выше обозначения.

Кипу были средством записи чисел в десятичной позиционной системе. Использовались ли они как инструмент вычислений, неизвестно.