На протяжении тысячи лет Средневековья в Европе почти не наблюдалось никакого прогресса, и только итальянское Возрождение и великие географические открытия вывели континент из летаргического сна. Благодаря путешественникам европейцы узнали, что за пределами Европы лежит множество других земель с несметными богатствами. Там живут неизвестные народы со своей собственной культурой, верованиями, картиной жизни. Там растут неизвестные растения, ткут диковинные ткани, создают поразительные узоры и образцы архитектуры. А значит, мы можем сказать сегодня, во всех этих новых странах существовала и математическая мысль.

Основой азиатской архитектуры той эпохи был буддизм — не просто религия, а целая жизненная философия, основанная на четырех истинах: существует страдание; причина страдания — желание; чтобы прекратить страдания, следует избегать желания; чтобы избежать желания, нужно следовать Восьмеричному Пути.

Большая ступа в индийской деревне Санчи — это буддийское религиозное сооружение I века до н. э. Ступы строились в разных целях: изначально они представляли собой гробницы, а позднее превратились в хранилища реликвий, к примеру костей или фрагментов тела Будды. Устанавливали ступы на священных местах или в память о важных событиях, и паломники обходили их по часовой стрелке.

Большая ступа в Санчи имеет форму полусферы диаметром примерно 40 метров. Как и все подобные сооружения, она увенчана кубом с длиной стороны почти 6 метров, стоящим на приплюснутой вершине полусферы. Над кубом возведен свод, образованный тремя круглыми камнями, которые уменьшаются в размерах. Эти камни нанизаны на ось, проходящую через их центры.

Мы не знаем, как архитекторам удалось придать Большой ступе такую форму. По одной из гипотез, они начертили большой круг основания при помощи длинной веревки, равной его радиусу. И действительно ли купол ступы имеет форму полусферы, как нам кажется? Его стены в точке касания с землей должны располагаться перпендикулярно ей, но в случае с Большой ступой это правило не выполняется.

Как архитекторы построили куб на вершине купола, ведь для этого нужно было уметь строить прямые углы? Может быть, индийские архитекторы использовали метод древних египтян? В те времена уже было известно, что треугольник, длины сторон которого пропорциональны 3, 4 и 5, прямоугольный, и это свойство применяется в современной архитектуре при вычерчивании прямых углов на земле в самых разных частях света — в Аргентине, Испании и Швеции. Еще один практический способ построения прямых углов выглядит так: нужно построить равнобедренный треугольник и соединить вершину, в которой сходятся две равные стороны, с серединой основания. Построенный отрезок будет высотой треугольника. Этот метод аналогичен описанному в главе 1, в части о построении прямых углов в основаниях египетских пирамид.

Большая ступа в деревне Санчи в индийском штате Мадхья-Прадеш.

Так или иначе, ступы постепенно принимали все более сложную форму. Ступа Боднатх в Непале также имеет форму полусферы, но ее основание представляет собой мандалу. Мандалы — геометрические изображения, связанные с астрологией и состоящие из концентрических фигур. Они обычно имеют круглую или квадратную форму и образованы концентрическими неправильными многоугольниками, построенными на основе квадрата.

В отличие от Большой ступы в Санчи ступа Боднатх оканчивается ступенчатым пирамидальным сводом, который образован 13 квадратами, лежащими друг на друге. Каждый из этих 13 уровней обозначает очередной этап на пути к нирване.

Ступа Боднатх в Непале. Внизу — план здания.

Свод над кубом — характерная особенность ступ и схожих с ними сооружений — дагаб. Они могут иметь форму круга (как ступа в Санчи), пирамиды (как ступа Боднатх) или конуса (как дагаба в шри-ланкийском Анурадхапуре). Заметим, что все эти геометрические фигуры кверху сужаются.

Возможно, именно остроконечные вершины этих сооружений вдохновили строителей пагод, в которых круг уступает место квадрату и правильным многоугольникам. Многоэтажные пагоды появились в Непале, но такие же храмы строились в Китае и Японии. Большая пагода Диких гусей в китайском Сиане датируется VII веком и имеет семь этажей квадратной формы. Пагода в храме Фогонг в Инсяне датируется XI веком и также имеет семь этажей в форме восьмиугольников.

Архитектура храма Боробудур на острове Ява (Индонезия) объединяет в себе сразу три образа: храм одновременно представляет собой ступу, мандалу и копию священной горы Меру — обиталища богов. Таким образом, этот храм, построенный в IX веке, одновременно и буддийский, и индуистский. По форме он напоминает ступу, так как состоит из нескольких уровней, образующих полусферу. Но эта полусфера не имеет единой структуры, а состоит из нескольких элементов меньших размеров, расположенных на террасах. А по расположению террас храм Боробудур — это еще и мандала. Первая терраса до сих пор находится под землей. 10 уровней оканчиваются ступой в форме колокола, на которой установлена статуя Будды.

Ступы храма Боробудур на индонезийском острове Ява. Внизу — план храма.

Скульптурный комплекс, высеченный в цельной скале, представляет собой своеобразный архитектурный диалог кругов и квадратов. Единственный ритуал, который может совершить паломник, — это обойти храм по периметру основания, представляющего собой квадрат стороной около 100 метров.

Числа, описывающие элементы храма, связаны неожиданными соотношениями. Во-первых, Боробудур представляет собой не одну большую ступу — три его верхних уровня состоят из множества мелких ступ, расположенных на восходящих окружностях рядами в 32, 24 и 16 ступ. Венчает сооружение большая ступа.

На каждой ступе установлена статуя Будды, а помимо них в храме можно увидеть еще 304 изображения основателя буддизма.

Барельефы на стенах располагаются рядами в 120, 128 и 72 изображения, всего их в храме 2700. Если с точки зрения геометрии центром диалога являются круг и квадрат, то с точки зрения арифметики главную роль в описании храма играют числа 2, 3, 5 и 7, которые служат основаниями или показателями степеней:

120 = 2³·3·5

128 = 2⁷

72 = 2³·3²

504 = 2³·3²·7.

Некоторые из этих чисел также можно выразить в виде произведения последовательных натуральных чисел:

120 = 4·5·6

72 = 8·9

504 = 7·8·9.

Также в храме Боробудур можно заметить, что некоторые круги делятся на 16, 24 и 32 равные части. Если построить квадрат, вписанный в круг, и провести его диагонали либо серединные перпендикуляры, то круг окажется разделен на четыре равные части. Серединные перпендикуляры и диагонали разделят круг на восемь равных частей. Быть может, архитекторы при расположении архитектурных элементов храма руководствовались именно этими линиями? В таком случае достаточно провести биссектрисы углов, пусть даже примерно, чтобы разделить круг на 16 частей, после чего повторить построение еще раз и разделить круг на 32 части.