Вход в подземное жилище в Гэлере (Гэанада).

А что вы скажете о следующей фотографии, на которой изображен фасад гостиницы Catalonia Plaza на площади Испании в Барселоне?

Рассмотрев ее, можно предположить, что каменные облицовочные плиты на фасаде были созданы на основе известного тождества, так как квадраты окон состав лены из двух квадратов разного размера и двух равных прямоугольников. Если а — сторона меньшего квадрата, b — сторона большего квадрата, то прямоугольники будут иметь размеры а х Ь, а все окно будет представлять собой квадрат со стороной а + Ь. Следовательно,

(а + b)² = а² + 2аЬ + Ь².

Однако математические идеи той или иной культуры можно заметить не только в дизайне или архитектуре, но и во множестве других проявлений. Основные из них приведены в таблице.

Любая культура проявляется посредством определенных практик, которые мы будем называть культурными практиками. Во многих из них неявно присутствуют математические идеи, часто скрытые, или «замороженные», как говорит мозамбикский профессор Паулус Жердес. Раскрыв и «разморозив» эти идеи, мы сможем познакомиться с математикой разных народов и культур. Помимо этой тайной математики, в культурных практиках могут присутствовать и более очевидные математические идеи, которые можно выявить, если понять, как мыслят носители исследуемой культуры, частью которой является «тайная» и «явная» математика.

Чтобы обнаружить этноматематику культуры, можно следовать разными путями. Так как математике присущи объективность, строгость и точность в действиях с числами и фигурами, то, изучив культурные практики и проявления, для которых характерны эти черты, мы обнаружим сокрытые в этой культуре математические идеи.

Масштабные архитектурные сооружения древнего мира и их основные элементы (круг, квадрат, трапеция).

Ярче всего эти идеи проявляются в архитектуре, ремеслах, технологиях, торговле и играх. Заострив внимание на практиках, необходимых для проявления культурных феноменов, Алан Бишоп выделил шесть универсальных математических действий, общих для всех народов: счет, измерение, определение местоположения, проектирование, игра и объяснение. Там, где производятся подсчет, измерение, определение местоположения, проектирование или объяснение, там, где идет игра, возможно, претворяются в жизнь математические идеи, присущие конкретной группе, народу или целой культуре. Познать эти идеи — значит познать этноматематику.

Когда речь заходит об этноматематике, возникает вопрос: заслуживает ли эта дисциплина внимания или же она представляет собой всего лишь набор занимательных рассказов о путешествиях в экзотические уголки Земли? Чтобы ответить на этот вопрос, отметим несколько важных моментов. Некоторые народные математические практики не только упрощают решение традиционных задач, но и позволяют четче понять математические идеи, присущие исключительно научному миру.

Также следует учитывать, что этноматематика не пользовалась такой же благосклонностью исследователей, как академическая Математика с большой буквы. Как заметил профессор Жердес и его коллеги, западная колонизация в немалой степени затруднила развитие этноматематики и даже стала причиной ее замалчивания.

Наше понимание математики необязательно должно совпадать с пониманием индейца навахо, хиваро или маори. Возможно, что в этих культурах математика не имеет четких границ, и даже если подобные границы существуют, они необязательно будут в точности соответствовать границам нашей математики. Это же справедливо и для других проявлений культуры. Так, танцы в честь божества туземные народы считают молитвой или знаком признательности, а не обычным проявлением художественного творчества.

Когда мы говорим об этноматематике, то понимаем под математикой все то, что относится к ней в нашей культуре, все, что на самом базовом уровне характеризуется объективностью, строгостью, точностью, количественным и геометрическим выражением.

Математические идеи были присущи даже доисторическим народам. Конечно, мы не можем точно знать, о чем думали кроманьонцы, неандертальцы или их предки, но свидетельства их существования, дошедшие до наших дней, позволяют нам хотя бы предполагать, какие математические идеи они использовали.

В 2003 году в пещере Бломбос в ЮАР был обнаружен брусок охры возрастом примерно 72 тысячи лет с геометрическими узорами.

Петроглиф из пещеры Бломбос (ЮАР).

Узор имеет примерно 60 мм в длину, его ширина не превышает 2 мм. Он состоит из двух рядов треугольников, образованных параллельными прямыми. Воспроизведем этот узор, чтобы лучше понять его геометрическую подоплеку.

Возможно, неровная поверхность камня или недостаточно совершенная технология помешали автору точнее изобразить узор, который мы сегодня назвали бы треугольной сеткой.

По расположению линий можно сказать, что треугольники были нарисованы не по отдельности, а пересечением трех рядов параллельных отрезков. Первый ряд образуют три горизонтальных параллельных отрезка, второй — восемь параллельных отрезков, наклоненных влево, третий — девять параллельных отрезков, наклоненных вправо.

Мы никогда не узнаем, имел ли автор узора представление о том, что такое «прямая», «отрезок», «угол», «параллельность» или «симметрия». Мы также никогда не узнаем, был ли этот узор эмблемой или символом чего-то или кого-то, имел ли он какое-то практическое значение или попросту его автор таким образом утолял тягу к прекрасному. Однако действия древнего «живописца» говорят, что он (или она) сознательно или бессознательно руководствовался перечисленными математическими понятиями. Ему помешали ограничения, накладываемые реальностью, и отсутствие подходящих технологий, но, как бы то ни было, этот узор — свидетельство существования математической мысли еще в доисторические времена.

К намного более позднему периоду относится кость бабуина с зарубками, найденная в 1960 году на стоянке Ишанго в тогдашнем Бельгийском Конго (ныне Демократическая Республика Конго). Ее возраст оценивается примерно в 20 тысяч лет. Изначально считалось, что кость использовалась для счета, так как на ней в несколько рядов сделаны зарубки, расположенные на одинаковом расстоянии друг от друга.