1 1 2 3 5 8 13 21 34 …

И вот в упорных поисках ответа родилась некая модель. Прежде всего, умозрительная. А потом – аналоговая механическая. Ее математическое описание теперь уже можно назвать конечной целью исследовательского поиска. И еще – можно сильно удивиться: почему это решение не пришло людям в голову раньше, скажем, века на два.

Итак, о филлотаксисе. Если не останавливаться на отдельных наблюдениях ученых глубокой и не очень глубокой древности, методичное, целенаправленное его изучение было начато Шарлем Бонне (1720 – 1793). В его работах впервые появляется образ спирали, впоследствии названной основной генетической спиралью. Вдоль этой-то линии и «садятся» последовательно появляющиеся листья.

Начиная с работ Гофмейстера (1868) и Эйри (1873), в литературе принято рассматривать расположение не столько листьев, сколько их зачатков в верхушке почки, называемых примордиями. Из этих зачатков впоследствии вырастают и листья, и цветочки, и чешуйки, и колючки, и новые побеги.

Чаще всего в природе встречается спиральное, или очередное, листорасположение с одним примордием на узле. Это совершенно разные растения – береза, традесканция, ананас. Верхушки некоторых побегов не удлиняются при появлении новых примордиев, а раздаются в ширину, уплощаются, и… получаются подсолнухи, ромашки…

Рисунок 1 Спиральное листорасположение. Вытянутый побег

Кроме спирального, различают супротивное. На узле могут сидеть два листа, один супротив другого – крапива, клен, сирень, поэтому и называется такое расположение супротивным.

Рисунок 2 Супротивное листорасположение

Есть еще и мутовчатое, когда число листьев в узле – три и более. Это олеандр, элодея.

Рисунок 3 Мутовчатое листорасположение

Рядом стоящие повторяющиеся элементы паттернов формируют ряды, они хорошо видны. В ботанической литературе они названы красиво – парастихи.

Рисунок 4 Цветок ромашки

Рисунок 5 Парастихи на ромашке

Примордии в парастихе могут быть в контакте, тогда парастиха хорошо различима и заметна. Такие парастихи называются контактными парастихами.

Рисунок 6 Контактные и неконтактные парастихи

Сушествуют и так называемые побочные последовательности Фибоначчи. Когда видимые пары семейств парастих не содержат чисел из ряда Фибоначчи, они «берут» их из другой последовательности. Но получается она тем же способом, что и ряд Фибоначчи, правда, с других начальных членов, например, 1 и 3 дают ряд Люка:

1 3 4 7 11 18 29 47 76 123 …

1 + 3 = 4

3 + 4 = 7

4 + 7 = 11

7 + 11 = 18

Рисунок 7

Корзинка подсолнуха. безусловно, демонстрирует последовательность Люка.

Если парастихи вращаются в одном направлении относительно оси растения и равномерно с одним и тем же шагом, тогда это – семейство парастих (почти как в хорошем людском семействе!), а два семейства, закрученных в противоположных направлениях, это уже пара семейств парастих.

Именно числа (ш, п) контактных парастих в двух противоположно закрученных пересекающихся семействах оказываются числами Фибоначчи! Числа (т, п) служат математическим выражением спирального филлотаксиса. Но что является ключом к пониманию возникновения паттернов на растениях? Посмотрим внимательно.

Количества контактных парастих возрастают по ряду Фибоначчи. Во внутренней части соцветие имеет немного таких различимых парастих. При продвижении к краю соцветия, то есть с увеличением радиуса побега, происходит смена пары семейств парастих, например

(8,13) на (21,13), (21,13) на (21, 34) …

Вот объяснение этого феномена, вот ключ к пониманию. Он называется возрастанием филлотаксиса.

Рисунок 8 Возрастание филлотаксиса

Спиральные структуры в побегах ставят другую проблему – хиральности, то есть проблему существования зеркальных изомеров. Наблюдения показывают, что врашение парастих не имеет закрепленного за семействами направления. Давно отмечено, что среди побегов растений могут быть как лево-, так и правозакрученные.

Рисунок 9

Правые и левые закрученные энантиоморфы.

И значит, у паттернов есть два характеризующих их критерия – число парастих в семействе и направление вращения парастих. Моя модель должна ответить на вопросы: как формируются количественные закономерности в паттернах и в какой момент развития побега и каким образом определяется направление вращения парастих?

Действительно, почему числа спиралей на подсолнухе, а также числа спиралей чешугк на шишках, почек и листьев на ветках так удивительно точно совпадают с числами Фибоначчи? Существующие теории, на мой взгляд, не дают убедительного ответа.

Классик математики Герман Вейль, знакомый с проблемой, опасался, «что современные ботаники относятся ко всему учению о филлотаксисе менее серьезно, чем их предшественники». И потому вряд ли решат проблему. Я взял да и попробовал. И вот что получилось.

Рисунок 10

Модель.

Упругие сферические примордии-пузырьки появляются на поверхности жидкости в центре верхней части цилиндрического сосуда один за другим. Появляются согласно простому правилу: каждый движется в наиболее доступное ему пространство. Примордии движутся радиально и одновременно с равной скоростью. При этом постепенно они увеличиваются в диаметре, насколько это позволяет давление соседних пузырьков. Рост числа контактных парастих происходит за счет перестройки примордиев в процессе их движения от центра к периферии. Парастиха становится контактной, хорошо различимой, когда примордии касаются один другого.

В основу своей МОДЕЛИ я положил аналогию примордиев с… мыльными пузырьками.

Движение пузырьков согласуется с механическими законами, принципом минимакса, работающим в природе повсеместно. Что это значит? Применительно к нашему случаю это может звучать так: «По пути минимального сопротивления прохождение максимального расстояния».

Вот как работает действие этого принципа для растительных паттернов согласно механической модели.

А вот так, если строить математическую модель. Каждое семейство парастих можно представить как набор идентичных архимедовых спиралей. Тогда мы будем иметь центрическую спиральную целочисленную векторную решетку (двумерную решетку называют сеткой). Это длинно звучит, но зато очень наглядно выглядит. Примордии стоят в узлах этой сетки. Они пронумерованы согласно их возрасту, то есть в порядке появления на верхушке стакана- стебля. причем нулевой номер – самый молодой.

Рисунок 11

Нумерация цветочков в соцветии соответствует их возрасту.

В более жесткой формулировке: по известной теореме число классов вычетов по модулю m равно n. Следовательно, после сложения векторов тип появляется новый класс вычетов по модулю (m+n) и новое семейство парастих (m+n).