Рассмотрим еще один пример с узлами, который связан с нашим предыдущим обсуждением конифолдных переходов (в десятой главе): если взять двухмерный бублик и сжать одну из окружностей, проходящих сквозь дырку, до точки, то получим что-то похожее на рогалик с соединенными концами. Если разделить эти два конца и разорвать поверхность, то получится топологический эквивалент сферы. Таким образом, можно считать такой «прищипнутый» бублик или «соединенный рогалик» сферой с одним узлом (или пересечением). Точно так же можно перейти к поверхностям более высокого рода и посмотреть на бублик с двумя дырками: сначала сожмем в точку окружность на «внутренней стенке» между двумя дырками, затем проделаем аналогичную операцию где-нибудь на «наружной стенке» бублика. Объект с такими двумя точками сжатия фактически является сферой с двумя узлами, поскольку, если мы разделим эти две точки и разорвем поверхность, то получим сферу. Дело в том, что если начинать с поверхности более высокого рода, скажем, с двумя, тремя или более дырками, то можно получить кривую или сферу с большим количеством узлов.

Позвольте мне переформулировать задачу в алгебраической геометрии, которую мы пытались решить вначале: для поверхности K3 мы хотим определить количество рациональных кривых с g узлами, которые можно расположить на этой поверхности, для любого значения g (положительного целого числа). Используя обычные методы, математики придумали формулу, которая хорошо работает для кривых с шестью или меньшим количеством узлов, но не с большим. Заслоу и я приступили к решению более общей задачи, то есть к кривым с произвольным количеством узлов. Вместо обычного метода мы взяли теорию струн и рассмотрели задачу с точки зрения бран внутри пространства Калаби-Яу.

В соответствии с теорией струн существуют браны, связанные с поверхностью K3, которая состоит из кривых (или двухмерных поверхностей, как мы определили ранее), а также так называемого плоского линейного расслоения, присоединенного к каждой кривой. Чтобы получить представление о таком линейном расслоении, представим человека, идущего по экватору с палкой произвольной длины — пусть даже бесконечно длинной, — держа ее перпендикулярно экватору и касательно к поверхности сферы. В конце концов, палка опишет цилиндр, который называют тривиальным линейным расслоением. Если человек во время ходьбы перевернет палку на 180 градусов, то палка опишет ленту Мёбиуса. Кстати, оба этих линейных расслоения являются «плоскими», то есть они обладают нулевой кривизной.

Заслоу и я заметили, что если взять пространство всех бран, содержащих кривые фиксированного рода g, которые связаны с данной поверхностью K3, и затем вычислить эйлерову характеристику этого пространства, то полученное число будет точно равняться числу рациональных кривых с g узлами, которые вписываются в эту поверхность K3.

Таким образом, я и мой коллега переформулировали исходную задачу в другом виде, показав, что все сводится к получению эйлеровой характеристики пространства бран. Затем мы использовали дуализм теории струн, разработанный Кумруном Вафа и Виттеном, для вычисления эйлеровой характеристики. Таким образом, теория струн дала новый инструментарий для решения задачи, а также новый способ формализации проблемы. Ранее алгебраические геометры не могли решить эту задачу, поскольку они не рассматривали браны: им никогда не приходило в голову решить ее в терминах пространства модулей, включающего в себя совокупность всех возможных бран данного типа.

Хотя мы с Заслоу набросали общий подход, полное доказательство было получено только спустя несколько лет другими учеными — Джимом Брайаном из Университета Британской Колумбии и Найчунгом Конаном Лойнгом из Университета Миннесоты. В результате теперь у нас есть математическая теорема, которая является истинной безотносительно к истинности теории струн.

Рис. 13.3. Если вы идете по экватору и все время удерживаете палку параллельно земле по касательной к поверхности, то опишете цилиндр. Если, огибая земной шар, вы перевернете палку на 180 градусов, то опишете более сложную поверхность, имеющую одну, а не две стороны, называемую лентой Мёбиуса

Кроме того, формула, которую мы вывели для расчета рациональных кривых на поверхностях K3, дает функцию для генерирования всех чисел, которые вы получаете для рациональных кривых с произвольным количеством узлов. Оказывается, эта функция по существу воспроизводит знаменитые тау-функции, которые были введены в 1916 году индийским математиком и гением-самоучкой Шринивасой Рамануджаном.[267] С тех пор наша функция в сочетании с высказанными Рамануджаном предположениями привела ко многим важным открытиям в области теории чисел. Насколько мне известно, наша работа впервые помогла установить серьезную связь между исчислительной геометрией (предметом расчета кривых) и тау-функцией.

Эта связь была закреплена последними работами Юйонг Дзена, молодого математика, недавно приглашенного работать в Гарвард, которого обучал мой бывший студент Юн Ли. Дзен показал, что не только рациональные кривые на поверхности КЗ связаны с тау-функцией, но расчет любых кривых произвольного рода на любой алгебраической поверхности связан с тау-функцией. И Дзен сделал это, доказав гипотезу, высказанную немецким математиком Лотаром Гёттше, который обобщил так называемую формулу Яу-Заслоу для рациональных кривых на поверхностях K3.[268] Новая обобщенная формула, справедливость которой доказал Дзен, носит имя Гёттше-Яу-Заслоу. Несколькими годами ранее бывший мой аспирант А. К. Лью опубликовал доказательство формулы Гёттше-Яу-Заслоу.[269] Но его доказательство, выполненное с помощью сугубо технического, аналитического метода, не дает объяснения в том виде, который устроил бы алгебраических геометров. Таким образом, статья Лью не рассматривается в качестве окончательного подтверждения этой формулы. Доказательство Дзена, основанное на аргументах алгебраической геометрии, получило более широкое признание.

Таким образом, благодаря выводу, изначально вытекающему из теории струн, мы поняли, что связь между исчислительной геометрией и тау-функцией Рамануджана, вероятно, глубже, чем предполагалось. Мы всегда ищем похожие связи между различными разделами математики, поскольку эти неожиданные связи часто могут привести нас к новому пониманию обоих разделов. Я подозреваю, что со временем будет открыто больше связей между исчислительной геометрией и тау-функцией.

В качестве яркого примера обогащения математики теорией струн приведем разработанную в 1990-х годах Виттеном и Натаном Зайбергом из Университета Ратджерса систему уравнений, получившую название Зайберга-Виттена (см. третью главу), которая ускорила исследование четырехмерных пространств. Эти уравнения оказались проще для использования, чем существующие методы, что привело к взрывному росту количества новых идей в работе с четырьмя измерениями, главной из которых является попытка классифицировать и систематизировать все возможные формы. Хотя уравнения Зайберга-Виттена первоначально были получены в теории поля, вскоре было показано, что они также могут быть выведены из теории струн. Кроме того, использование этой идеи в контексте теории струн значительно расширило наши представления о ней. «В ряде случаев, — говорит мой коллега, — Виттен обычно советовал математикам: вот, возьмите эти уравнения, они могут оказаться полезными. И действительно, они оказывались полезными». «Теория струн стала таким благом для математики, таким огромным источникам новых идей, что даже если она окажется несостоятельной как теория природы, она уже сделала для математики больше, чем любой вид человеческой деятельности, который я могу вспомнить», — говорит мой давний сотрудник Бонг Лиан из Университета Брандейса.[270] Хотя сам я об этом сказал бы более сдержанно, чем Лиан, но, в принципе, я согласен с ним, потому что выигрыш оказался неожиданно огромным. Нашу точку зрения разделяет и Атья: «Теория струн трансформировала, обновила и революционизировала крупные разделы математики… в тех областях, которые кажутся далекими от физики». Многие из областей математики — «геометрию, топологию, алгебраическую геометрию и теорию групп — похоже, смешали в один коктейль, причем способом, глубоко связанным с их основным содержанием, и не по касательной, а прямо в сердце математики».[271]