Тем не менее я не считаю, что эти два класса многообразий настолько разные с математической точки зрения. Мы использовали геометрический анализ для построения многообразий Калаби-Яу, и я убежден, что эти инструменты помогут нам построить не-кэлеровы многообразия, допуская, что сначала мы должны решить уравнения Строминджера или, по крайней мере, доказать, что решения существуют. Физикам необходимо знать, действительно ли не-кэлеровы многообразия могут существовать и если да, то удовлетворяют ли всем четырем уравнениям сразу, поскольку, если это невозможно, то люди, работающие над этой задачей, просто даром теряют время. Я занимаюсь ею почти двадцать лет с тех пор, как Строминджер выдвинул свою идею, и не могу найти решение. То есть решение без сингулярностей, так как Строминджер нашел несколько решений с сингулярностями, но они оказались чрезвычайно сложными. И люди начали верить, что решений без сингулярностей не существует.
Затем произошел небольшой прорыв. Я и несколько моих коллег обнаружили решения без сингулярностей для пары специальных случаев. В первой статье, которую я завершил в 2004 году вместе с математиком из Стэнфорда Юном Ли (моим бывшим аспирантом), мы доказали, что класс не-кэлеровых многообразий математически возможен. Фактически для каждого известного многообразия Калаби-Яу мы доказали существование целого семейства не-кэлеровых многообразий, которые достаточны похожи по структуре, чтобы входить в одно семейство. Таким образом, впервые существование этих многообразий было подтверждено математически.
Хотя решение уравнений Строминджера является чрезвычайно трудным делом, мы с Ли сделали самое легкое, что можно было сделать в этой области. Мы доказали, что эти уравнения можно решить для частного случая, когда не-кэлерово многообразие очень близко к многообразию Калаби-Яу. Фактически, мы начали с многообразия Калаби-Яу и показали, как его деформировать, чтобы геометрия или метрика уже не были кэлеровыми. Хотя многообразие все еще могло поддерживать метрику Калаби-Яу, его метрика уже была не-кэлеровой, что сделало возможными решения системы Строминджера.
Вероятно, важнее то, что Ли и я обобщили теорему DUY (о которой упоминалось в девятой главе и название которой является аббревиатурой фамилий ее авторов — Дональдсона, Уленбека и Яу), чтобы охватить все не-кэлеровы многообразия. Теорема DUY имеет большое практическое значение, потому что она автоматически берет на себя решения двух из четырех уравнений Строминджера, связанных с эрмитовой теорией Янга-Миллса, и позволяет решить уравнения суперсимметрии и устранения аномалий.
Учитывая, что DUY является инструментальным средством для компактификаций Калаби-Яу (с точки зрения воспроизведения калибровочных полей), мы надеемся, что она также пригодится для не-кэлеровых компактификаций.
Одним из перспективных способов получения не-кэлеровых многообразий, подразумеваемый гипотезой Рида, является применение конифолдного перехода к уже известному многообразию Калаби-Яу. Я недавно рассматривал эту возможность с Юном Ли и Джи-Хианом Фу, бывшим своим гарвардским аспирантом, сейчас работающим в Фуданьском университете в Шанхае. Исходное многообразие, с которого мы начали, предложил Херб Клеменс, один из архитекторов конифолдного перехода, но он обеспечил нас только общей топологией, то есть многообразием без метрики и, следовательно, без геометрии. Фу, Ли и я пытались придать этому многообразию некоторую форму, показав существование метрики, которая будет удовлетворять уравнениям Строминджера.
Эти уравнения представляются уместными здесь, потому что они применимы не только к не-кэлеровым многообразиям, но также к многообразиям Калаби-Яу, которые представляют собой частный случай. Кроме того, гипотеза Рида включает процедуру, которая позволяет перейти от многообразий Калаби-Яу к не-кэлеровым многообразиям и обратно.
Таким образом, если вам нужен набор уравнений, которые охватывают обе геометрии, то формулировки Строминджера — возможно, именно то, что вы искали. Мы с коллегами доказали, что многообразие Клеменса удовлетворяет трем из четырех уравнений Строминджера, но пока мы не нашли решение для самого трудного из всех уравнений — уравнения устранения аномалий. Я все еще убежден, что искомое многообразие существует. В конце концов, если наши усилия увенчались решением трех уравнений — это уже хорошо. Но пока мы не решим последнее уравнение, у нас не будет необходимого доказательства.
Фу и я пошли дальше, показав, как построить класс, топологически отличный от не-кэлеровых многообразий, который удовлетворяет уравнениям Строминджера. Если вести построение с нуля, а не путем модифицирования известных многообразий Калаби-Яу, то получаемые многообразия, по сути, являются не-кэлеровыми. Они состоят из поверхностей K3 (четырехмерные многообразия Калаби-Яу) с двухмерными торами, присоединенными к каждой точке. Решение уравнения Строминджера в этом случае включает решение уравнения Монжа-Ампера (класс нелинейных дифференциальных уравнений, который мы обсуждали в пятой главе), которое сложнее, чем то, которое мне пришлось решать для доказательства гипотезы Калаби. К счастью, мы с Фу смогли оттолкнуться от наших ранних работ. Наш метод, как и в случае с доказательством гипотезы Калаби, включал априорное оценивание, то есть мы должны были предсказать диапазон значений разных параметров.
Мы с Фу нашли особый метод, позволивший нам решить не одно, а все четыре уравнения. В то время как в случае гипотезы Калаби я смог получить все возможные решения уравнения Монжа-Ампера, на этот раз мы получили лишь подмножество целого класса решений. К сожалению, мы не достаточно хорошо понимали систему, чтобы определить, насколько большим или маленьким является это подмножество. Но, по крайней мере, мы сделали несколько предварительных шагов.
Большинство физиков, которые начинали работать с не-кэлеровыми компактификациями, допускают, что уравнения Строминджера можно решить, не беспокоясь о доказательстве этого. Ли, Фу и я показали, что эти уравнения можно решить в отдельных случаях, которые мы пока не определили, но это еще один способ доказать, что специфические многообразия, то есть какая-то часть всех не-кэлеровых многообразий, действительно существуют. Это явилось всего лишь отправной точкой для решения более существенной задачи: нахождение метрики, удовлетворяющей системе Строминджера и всем ее уравнениям. Несмотря на то что пока никто и близко не подошел к решению этой проблемы и все признаки указывают на то, что проблема дастся физикам нелегко, мы с коллегами нашим небольшим вкладом, по крайней мере, подняли вопрос о его возможности.
Бекер утверждает, что, если все удастся, то это будет важнее, чем доказательство гипотезы Калаби. Может быть, она права, но об этом рано говорить. Пока я не доказал гипотезу Калаби, я не понимал ее полной значимости. И даже после ее доказательства физики еще восемь лет не осознавали его важности и значения сопутствующей теоремы. Но я продолжал изучать пространства Калаби-Яу, потому что для меня они выглядели привлекательно. Пространства, описываемые системой Строминджера, также имеют определенный шарм. Сейчас мы уже увидели, что дело пошло.
Тем временем мы с Фу предложили многообразия, которые мы создали для наших друзей-физиков, сотрудничая с Мелани Бекер, Катрин Бекер, Ценгом и, можно сказать, даже со Строминджером, если причислить его к нашим единомышленникам. Затем наша группа построила еще больше примеров исходной модели Фу-Яу. В отличие от гетеротической компактификации теории струн, описанной в последней главе, наша команда не смогла получить правильные характеристики частиц или три поколения частиц из Стандартной модели. «Что мы имеем, — говорит Мелани Бекер, — так это стабилизованные модули, что является необходимым предварительным условием ко всему, а также реальным способом вычисления масс».[202]
На данном этапе трудно сказать, что получится из усилий физиков, играющих с не-кэлеровыми компактификациями и многими другими альтернативами многообразий Калаби-Яу (в том числе в области под названием не-геометрические компактификации), исследование которых ведется в настоящее время. Справедливости ради стоит поставить вопрос: действительно ли компактификации Калаби-Яу являются верным описанием нашей Вселенной или только простейшей моделью, из которой мы черпаем знания, — фантастический эксперимент, дающий возможность узнать, как работает теория струн и как мы можем объединить суперсимметрию, силы и прочее в «окончательной» теории.
