Существование данной структуры, установленное Канделасом и его сотрудниками, позволило получить формулу, необходимую для дальнейшей работы. Эта формула была проверена при помощи большого числа математических вычислений для полиномов со степенями от одного до четырех. О первых трех задачах уже шла речь ранее, а для кривых четвертого порядка решение было получено в 1995 году математиком Максимом Концевичем (в настоящее время работает в Институте высших научных исследований) — он получил число 242 467 530 000. Хотя формула, полученная группой Канделаса, полностью согласовывалась со всеми известными данными, вопрос о строгом доказательстве все еще был открыт. Многие математики, включая Концевича, предприняли немало усилий для представления уравнений Канделаса в форме полноценной гипотезы — в основном, за счет определения слагаемых, входящих в уравнения. Полученное в результате утверждение, известное как гипотеза о зеркальной симметрии, уже можно было подвергнуть окончательной проверке — математическому доказательству. Доказательство гипотезы о зеркальной симметрии стало обоснованием идеи зеркальной симметрии самой по себе.
Здесь я вынужден упомянуть одну из конфликтных ситуаций, которые время от времени возникают в математике. Как мне кажется, подобные ситуации неизбежны, поскольку мы живем в несовершенном мире, населенном несовершенными существами, а математика, несмотря на устоявшееся мнение о ней, совсем не является чистой интеллектуальной деятельностью, огражденной от политики, честолюбия, конкуренции и эмоций. Часто оказывается, что в подобных вопросах чем мельче причина для спора, тем большие она вызывает разногласия.
Мы с моими коллегами занимались исследованием гипотезы о зеркальной симметрии и ее обобщениями с 1991 года — со времени объявления Канделасом своих результатов. В статье, выложенной на сайт arXiv.org в марте 1996 года, Александр Гивенталь из Калифорнийского университета заявил, что ему удалось доказать гипотезу о зеркальной симметрии. Мы тщательно проработали эту статью и сочли ее — и в этом мы были не одиноки — крайне неясной. В том же году я лично пригласил моего коллегу из Массачусетского технологического института, считавшегося экспертом в этой области (который пожелал, чтобы его имя в этой книге осталось неназванным), прочитать на моем семинаре лекцию, посвященную доказательству Гивенталя. Он вежливо отказался, упомянув о своих серьезных сомнениях в убедительности аргументов, приведенных в статье. Точно так же и мне с моими коллегами не удалось шаг за шагом воспроизвести доказательство Гивенталя, несмотря на все наши попытки связаться с ним и соединить воедино те фрагменты, которые нам казались наиболее запутанными. Тогда мы приняли решение оставить эти бесплодные усилия и год спустя опубликовали наше собственное доказательство гипотезы о зеркальной симметрии.
Некоторые эксперты, в том числе Газман, назвали нашу статью «первым полным и строгим доказательством» гипотезы, аргументируя это тем, что доказательство Гивенталя «было весьма тяжелым для понимания, а в ряде мест — неполным»[108]. Дэвид Кокс, математик из колледжа Амхерст, являвшийся соавтором (вместе с Кацом) книги «Зеркальная симметрия и алгебраическая геометрия», также заявил о том, что мы представили «первое полное доказательство гипотезы».[109] С другой стороны, многие придерживались иного мнения, утверждая, что доказательство Гивенталя, опубликованное за год до нашего, было абсолютно полным и не содержало в себе каких-либо серьезных пробелов. Оставляя другим возможность продолжать дискуссию по этому поводу, сам я полагаю наилучшим объявить, что эти две статьи, сведенные вместе, представляют собой доказательство гипотезы о зеркальной симметрии, и оставить этот вопрос. Дальнейшее продолжение спора не имеет смысла, особенно в свете того, что в математике все еще полно нерешенных проблем, являющихся куда более достойным объектом для приложения усилий.
Итак, отбросив противоречия, зададимся вопросом: что же доказывают эти две статьи? Прежде всего, доказательство гипотезы о зеркальной симметрии подтвердило правильность формулы Канделаса для числа кривых определенного порядка. Но на самом деле наше доказательство было шире. Формула Канделаса была применима для подсчета числа кривых только на трехмерной поверхности пятого порядка, тогда как наши доказательства можно было использовать для гораздо более широкого класса многообразий Калаби-Яу, в том числе и для тех многообразий, к которым проявляют интерес физики, а также для других объектов, таких как векторные расслоения, о которых пойдет речь в девятой главе. Более того, наше обобщение позволяло использовать гипотезу о зеркальной симметрии не только для подсчета кривых, но и для получения других геометрических характеристик.
Как мне кажется, доказательство этой гипотезы позволило провести последовательную проверку некоторых идей из области теории струн с точки зрения строгой математики, что обеспечило данной теории крепкую математическую основу. Впрочем, теория струн не осталась в долгу перед математикой, поскольку зеркальная симметрия привела к созданию нового раздела алгебраической геометрии — нумеративой геометрии, — внеся существенный вклад в решение давних проблем в этой области. В самом деле, многие из моих коллег, занимающихся алгебраической геометрией, рассказывали мне, что единственной работой за последние пятнадцать лет, которая вызвала у них интерес, стала работа, вдохновленная идеями о зеркальной симметрии. Огромный вклад в математику со стороны теории струн вынудил меня признать, что физическая интуиция определенно должна чего-то стоить. Это означало, что даже если природа и не работает строго по законам теории струн, эта теория, тем не менее, должна содержать в себе немалую долю истины, поскольку ее применение открывало путь к решению многих классических проблем, которые математики были не в состоянии решить самостоятельно. Даже сейчас, много лет спустя, невозможно представить себе независимый путь вывода формулы Канделаса, в котором не использовались бы идеи теории струн.
По иронии, единственным вопросом, который доказательство гипотезы о зеркальной симметрии так и оставило открытым, стал вопрос об определении самого понятия зеркальной симметрии. Во многих отношениях это явление, открытое физиками и впоследствии нашедшее заметное применение в математике, так и осталось загадкой, хотя в настоящее время уже определены два основных подхода, которые могут привести к ответу, — один из них известен как гомологическая зеркальная симметрия, другой же носит название гипотезы SYZ. Если гипотеза SYZ представляет собой попытку интерпретации зеркальной симметрии с геометрической точки зрения, то гомологическая зеркальная симметрия основана на алгебраическом подходе.
Для начала рассмотрим тот из двух подходов, в который мне удалось внести более заметный вклад, а именно гипотезу SYZ, название которой представляет собой аббревиатуру, образованную из первых букв фамилий авторов ключевой статьи по этой теме, вышедшей в 1996 году: Эндрю Строминджер — это S, Эрик Заслоу из Северо-Западного университета — это Z, а я — это Y. Подобные взаимодействия между учеными редко имеют формальную отправную точку — это, например, началось с моих случайных разговоров со Строминджером на конференции 1995 года в Триесте. Строминджер рассказывал о статье, написанной им незадолго до этого совместно с Кэтрин и Мелани Беккер, сестрами, в настоящее время занимающимися физикой в Техасском университете А&М. Так как D-браны в то время уже произвели немало шума в теории струн, целью статьи стало исследование того, как эти браны вписываются в геометрию Калаби-Яу. Идея авторов заключалась в том, что браны могут оборачиваться вокруг подмногообразий, находящихся внутри пространств Калаби-Яу. Сестры Беккер и Строминджер исследовали класс подмногообразий, сохраняющих суперсимметрию, что привело к открытию ряда весьма интересных свойств. Меня и Строминджера заинтересовал вопрос о той роли, которую эти подмногообразия могут играть в зеркальной симметрии.
