Вскоре я попросил Грина выступить перед собранием математиков с докладом по вопросу зеркальной симметрии; этот доклад собирался посетить, в том числе, и такой авторитет, как И. М. Зингер из Массачусетского технологического института. Будучи физиком по образованию, Грин весьма переживал по поводу выступления перед таким большим скоплением людей. Я же посоветовал ему как можно чаще в своей лекции использовать слово «квантовый», зная, какое впечатление оно производит на математиков. Так, зеркальную симметрию я предложил ему описать в терминах «квантовой когомологии» — термина, пришедшего мне в голову в это время.
Объектом исследования когомологии являются циклы, или петли на многообразии, а также типы их пересечения. Циклы, в свою очередь, связаны с подповерхностями в пределах многообразия, также называемыми подмногообразиями, не имеющими границ. Чтобы лучше понять, что имеется в виду под понятием подмногообразия, представьте себе кусок швейцарского сыра в форме шара. Можно, рассматривая этот сырный шар как единое трехмерное пространство, попробовать завернуть его в полиэтиленовую пленку. Но и внутри этого шара можно также найти сотни дырок — подповерхностей в пределах большей поверхности, — которые тоже можно чем-то покрыть или что-то через них пропустить, например резиновую ленту. Подмногообразие представляет собой геометрический объект с четко определенными размером и формой. Для физика цикл — это просто менее строгое определение петли, основанное исключительно на ее топологии, тогда как большинство геометров не видят никакой разницы между циклом и подмногообразием. Тем не менее мы стремимся использовать циклы — подобные окружностям, проходящим через дырку бублика, — для того, чтобы получить информацию о топологии многообразия.
Физикам знаком метод, позволяющий связать квантовую теорию поля с заданным многообразием. Однако поскольку многообразие, как правило, имеет бесконечное число циклов, они обычно прибегают к аппроксимации, сводящей это бесконечное число к конечному, с которым уже можно свободно обращаться. Этот процесс носит название квантования — взяв величину, которая может принимать бесконечное число возможных значений, например частоты радиоволн в FM-диапазоне, только о некоторых из них говорят как о разрешенных. Подобный процесс приводит к введению квантовых поправок в исходное уравнение, которое описывает циклы и, следовательно, когомологию. По этой причине говорят именно о квантовой когомологии.
Как оказалось, существует не единственный способ введения квантовых поправок. Благодаря зеркальной симметрии для любого многообразия Калаби-Яу можно построить эквивалентный ему с физической точки зрения зеркальный партнер. Многообразия, являющиеся зеркальными партнерами, описываются двумя различными по виду, но эквивалентными по сути вариантами теории струн, типа IIA и типа IIB, которые описывают одну и ту же квантовую теорию поля. Мы можем сделать эти расчеты относительно легко для модели В, где квантовые поправки оказываются равными нулю. Расчет же для модели А, в которой квантовые поправки в нуль не обращаются, практически невозможен.
Примерно через год после выхода статьи Грина и Плессера, внимание математического сообщества привлекло новое открытие в области зеркальной симметрии. Канделасу, Ксении де ла Осса, Полу Грину и Линде Паркс удалось показать, что зеркальная симметрия может оказать помощь при разрешении математических задач, в частности в области алгебраической и нумеративной геометрии, в том числе некоторых из тех, что не поддавались математикам на протяжении десятилетий. Задача, которую рассмотрел Канделас со своими коллегами, носила название задачи трехмерной поверхности пятого порядка и в то время была у всех на слуху. Свое второе название — задача Шуберта — она получила в честь немецкого математика XIX века Германа Шуберта, решившего ее первую часть. Задача Шуберта имеет отношение к определению количества рациональных кривых — то есть кривых рода 0, не имеющих дырок, таких как сфера, — которые можно провести на многообразии Калаби-Яу пятого порядка (шестимерном).
Подобный расчет может показаться весьма странным занятием для того, кто не увлекается нумеративной геометрией, — для тех же, кто работает в этой области, подобная деятельность является вполне привычной. На самом деле задача весьма проста — это не сложнее, чем высыпать на стол конфеты из вазы и сосчитать их. Расчет числа определенных объектов на многообразии и очерчивание круга приложений, в которых полученное число может оказаться полезным, на протяжении столетия или больше были важнейшими задачами для математиков. Число, которое необходимо найти, в конце этого процесса должно оказаться конечным, поэтому поиск нужно ограничить компактными пространствами, небесконечными плоскостями. Если, к примеру, необходимо рассчитать число точек пересечения между двумя кривыми, то в случае наличия точек соприкосновения между кривыми могут возникнуть затруднения. Впрочем, математики, занимающиеся нумеративной геометрией, уже разработали методики, позволяющие разобраться с этими сложностями и получить строго определенное число.
Одна из первых задач такого типа была сформулирована приблизительно в 200 году до нашей эры греческим математиком Аполлонием, которого интересовал следующий вопрос: если даны три окружности, то сколькими способами можно нарисовать четвертую так, чтобы она касалась всех трех одновременно? Ответ на этот вопрос (восемь) может быть получен с помощью линейки и циркуля. Для решения же задачи Шуберта необходимы более сложные вычисления.
В работе над этой задачей математики избрали поэтапный подход, рассматривая за раз только одну степень. Под степенью понимается наивысшая из степеней слагаемых, входящих в многочлен. К примеру, степень полинома 4x2-5y3 равна трем, 6х3y4+4x — семи (степени х3 и y4 складываются), а 2x+3y-4 — единице (график этой функции — прямая линия). Итак, задача состояла в том, чтобы выбрать многообразие (в нашем случае речь идет о трехмерной поверхности пятого порядка) и степень (порядок) кривых, количество которых необходимо было подсчитать.
Шуберт решил эту задачу для кривых первого порядка, показав, что на поверхности пятого порядка можно провести ровно 2875 кривых. Почти через сто лет после этого, в 1986 году, Шелдон Кац, в настоящее время работающий в Университете штата Иллинойс, показал, что число кривых второго порядка, подобных окружностям, на той же поверхности равно 609 250. Канделас, де ла Осса, Грин и Паркс, в свою очередь, рассмотрели случай кривых третьего порядка, от которого легко перейти к задаче о числе сфер, которые можно разместить в определенном пространстве Калаби-Яу. В этом им помог прием, основанный на зеркальной симметрии. В то время как решение задачи для многообразия пятого порядка было чрезвычайно сложным, его зеркальный партнер, созданный Грином и Плессером, позволял найти намного более простой путь к решению.
Кроме того, в первой статье Грина и Плессера, посвященной зеркальной симметрии, была выдвинута ключевая идея о том, что взаимодействия Юкавы можно представить при помощи двух различных математических формул, одна из которых будет описывать исходное многообразие, а вторая — его зеркальную пару. Первая из этих формул, включающая в себя число рациональных кривых различных степеней, которые можно было обнаружить на многообразии, по словам Грина, была просто «кошмарной». Со второй формулой, зависящей от формы многообразия в более общем виде, работать было намного проще. Однако так как обе формулы описывали один и тот же физический объект, они должны быть эквивалентными — подобно словам «кот» и «cat», которые имеют различный вид, но описывают одно и то же пушистое существо. Статья Грина и Плессера содержала уравнение, из которого напрямую следовала эквивалентность этих двух столь различных формул.
